新人教A版必修1 高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 教案

3.1.1方程的根与函数的零点课型：新授课授课人：郭红霞【教学目标】1．了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；2．理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间；4．经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力；5．初步体会函数与方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题；体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．【教学重难点】教学重点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理教学难点：对零点存在性定理的准确理解【教学方法】观察探索与问题式相结合【教学过程】（一）创设情境，感知概念1．实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x．设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．2．一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点6 问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．设计意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．3．一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动，由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．设计意图：由具体到抽象，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．（二）辨析讨论，深化概念4．函数零点．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D）A．(0，0)，(4，0)B．0，4C．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D．–4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．5．归纳函数的零点与方程的根的关系．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．6 练习：求下列函数的零点：设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．（三）实例探究，归纳定理6．零点存在性定理的探索．问题5：观察两组画面,请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？问题6：将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时AB间的一段函数图象与x轴会有交点？并画出函数图像通过类比，发现只要满足A、B两点在x轴的两侧这种位置关系就可以达到要求。同时这种位置关系可以用f（a）·f（b）