新人教A版必修1 高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 教案

3.1.1方程的根与函数的零点公开课教案教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2、理解函数的零点与方程的联系。3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。2、难点：函数零点存在的条。教学过程：1、 问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1= x2=1=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根=x2-2x+3无交点（图1-1）函数=x2-2x-3的图像（图1-2）函数=x2-2x+1的图像（图1-3）函数=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2） 如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。2、函数的零点（1）概念对于函数=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数=f(x)(x∈D)的零点。（2）意义方程f(x)=0有实数根函数=f(x)的图像与x轴有交点函数=f(x)有零点（3）求函数的零点①代数法：求方程f(x)=0的实数根② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数=f(x)的图像联系起，并利用函数的性质找出零点。3、函数零点的存在性（1）二次函数的零点△=b2-4aax2+bx+=0的实数根=ax2+bx+的零点数△﹥0有两个不等的实数根x1、x2两个零点x1、x2△=0有两个相等的实数根x1=x2一个零点x1（或x2）△﹤0没有实数根没有零点（图2-1）方程ax2+bx+=0的判别式△﹥0时，函数=ax2+bx+(a≠0)的图像（图2-2）方程ax2+bx+=0的判别式△=0时，函数= ax2+bx+(a≠0)的图像（图2-3）方程ax2+bx+=0的判别式△﹤0时，函数=ax2+bx+(a≠0)的图像（2）探究发现问题1：二次函数=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=f(1)=12-2*1-3=1-2-3=-4f(2)* f(1)=-4*=-20﹤0问题2：在区间[2,4]呢？解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3f(4)=42-2*4-3=f(4)*f(2)=(-3)*=-1﹤0归纳：f(2)*f(1)﹤0，函数=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)*f(4)﹤0，函数=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程=x2-2x-3的两个根。结论：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。①图像在上的图像是连续不断的② ③函数在区间内至少有一个零点4、习题演练利用函数图像判断下列二次函数有几个零点①=－x2＋3x＋，②=2x(x－2)+3解：①令f(x)=－x2＋3x＋,做出函数f(x)的图像，如下（图4-1）它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋＝0有两个不相等的实数根，则函数=－x2＋3x＋有两个零点。② =2x(x－2)+3可化为做出函数f(x)的图像,如下：（图4-2）它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根，则函数=2x(x－2)+3没有零点。