教案设计 ——3.1.1方程根与函数零点

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点l内容解析内容：本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1（人教A版2007年5月第一次印刷）的3.1.1方程的根与函数的零点（第86页—88页）．它是课程标准试验教科书中新增内容．“方程的根”是初中学过的概念，即满足方程的未知数的取值；“函数的零点”即使函数值为零的自变量的取值，它不是点——形，而是数．函数零点的存在性定理是又一个重要内容．内容解析：二次函数的图象，包含了二次函数诸多信息，比如零点的概念，一元二次方程与二次函数的内在联系，等等．处理“函数的零点”与“方程的根”的关系时，要从数和形两方面入手，一方面，“函数值为零”列成式子就是方程，这就说明方程是函数的在某个时刻的性状，或者说方程是函数的一个特例；另一方面，通过函数的图像与x轴的交点架起桥梁，使“函数的零点”与“方程的根”得到统一．正是这种统一，才有函数零点的存在性定理，它给出了函数零点的存在性判定方法，也为数形结合的提供了例子．这里渗透了方程与函数的思想和数形结合的思想．函数与方程是中学数学的重要内容，它不仅是初等数学的基础，在现实生活、实践中，函数与方程都有着广泛的应用和无可替代的作用，还是连接初等数学与高等数学的纽带．l目标和目标解析目标：1．经历对二次函数图像的绘制、分析，得出“函数零点”的概念，了解“函数零点”的概念；2．体验二次函数的零点与相应的一元二次方程的根之间的关系是建立在函数的图像与x轴的交点之上，理解并掌握“函数的零点”与“方程的根”的关系，了解求函数的零点的方法；3．进一步利用数形结合探究函数零点存在性的判定，并加以运用，要求掌握函数零点的存在性判定定理．目标解析：“经历”就是让学生亲眼所见或亲身去做，在这里教师可以借用信息技术，如《几何画板》、PowerPoint等手段来演示，让学生把概念真正在脑海里树立起来，对概念的要求只作“了解”；在上述演示过程中，学生不仅收获了概念，还“体验”到了数与形的转化，即函数零点与方程的根之间的关系是通过函数的图像与x轴的交点来建立的，只有这样才容易理解和便于掌握——函数零点与方程的根之间的关系，顺便 得到求函数的零点的两个方法；观看教师的演示，还有对例、习题的解答都是“探究”的范畴，在这个过程中要求学生从中归纳得出结论：函数零点的存在性的判定，并要求掌握这个判定．l教学问题诊断分析对“函数的零点”，学生容易误认为是“点”，这是顾名思义而犯的错误，对此教学中要强调“函数的零点”是数，而“点”是形，二者是不同的两类东西，不能混为一谈．传统的教学对“方程的根与函数的零点之间的关系”学生只会被动的接受教科书上的结论，因此，有条件应该运用《几何画板》或PowerPoint把问题的实质展示给学生，其实我们把“关系”看作是一座桥梁，真正的桥体是“函数图像与x轴的交点”．这样给求函数y=f(x)的零点得到两个方法：其一，解方程f(x)=0而得；其二，画函数y=f(x)图像，求与x轴的交点横坐标而得．这为下节课伏笔．判断函数的零点存在性判定定理：区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，若，那么在[a，b]上，y=f(x)存在零点c，使f(c)=0，有两个误区：其一，忽视函数的连续性这个条件；其二，在上述结论中，认为零点个数唯一．对误区一，举反例如图(1)，对误区二，举反例如图(2)．图(1)图(2)还有一个误解认为它的逆命题也真，反例：在[-2，4]上有两个零点x=-1、x=3，但，，显然．l教学支持条件分析基于上述，要有效实现目标，可采用《几何画板》、PowerPoint平台，用《几何画板》演示作二次函数图像的过程，能直观形象的表现图像与x轴在什么时候相交，什么时候有两个交点，什么时候只有一个交点，什么时候没有交点，还能把“函数的零点”与“方程的根”的关系由函数图像与x轴的交点连接起来，而且节省时间．PowerPoint是处理文字叙述的好工具，能大容量的展示教学内容．l教学过程设计环节教学内容设置师生双边互动 创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数师：用《几何画板》演示画函数图象，演示方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和相应的二次函数又怎样？组织探究函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：练习判断下列函数的零点：(1)的零点是______(2)的零点是_____师生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： 代数法； 几何法．二次函数的零点：二次函数：．1)△＞0，方程有两不等师：运用《几何画板》演示探索二次函数零点的情况．环节教学内容设置师生互动设计 组织探究实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．2)△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．3)△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．零点存在性的探索：(Ⅰ)观察二次函数的图象：在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．(Ⅱ)观察下面函数的图象在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节教学内容设置师生互动设计 例题研究例1．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）怎样判断函数的单调性，你能判断该函数的单调性具有什么特性？师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：结合老师画出的图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．尝试练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）．师：让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．生：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数．作业回馈1．教材P92习题3.1（A组）第2题；2．求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）．要求学生独立完成课外活动研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．考虑列表，建议画出图象帮助分析．环节教学内容设置师生互动设计 收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤．l目标检测设计选择题：1．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；2．已知唯一的零点在区间(1，3)、(1，4)、(1，5)内，那么下面命题错误的是（）A．函数在(1，2)或[2，3]内有零点B．函数在(3，5)内无零点C．函数在(2，5)内有零点D．函数在(2，4)内不一定有零点3．设函数的图象在[a,b]上连续，若方程在[a,b]上有实根，则满足（）A．B．C．符号不确定D．4．求零点的个数为（）A．1B．2C．3D．45．已知函数有反函数，则方程（）A．有且仅有一个根B．至多有一个根C．至少有一个根D．以上结论都不对6．已知是方程lgx+x=3的解，是的解，求（）A．B．C．3D．7．方程根的个数（）A．无穷多B．3C．1D．08．对于函数，若，，则函数在区间 内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点9．若方程在(0,1)内恰有一解，则实数的取值范围是()A．B．C．D．10．方程的解一定位于区间()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)填空题：11．设函数在区间[a，b]上连续,若满足_____________，则方程在区间[a,b]上一定有实根.12．二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c>0的解集是____________________13．若函数在区间[0，4]上的图象是连续不断的曲线，且方程在(0,4)内仅有一个实数根,则_____0（填或=号）14．函数的零点个数是_________