新人教A版必修1 高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 教案

3.1.1方程的根与函数的零点一、教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.二、教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.三、教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.四、教学过程：(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程与函数②方程与函数③方程与函数根据函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标有何关系？上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数的关系：一元二次方程+bx+c=o(a0)的根就是相应二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点横坐标.（二）互动交流研讨新知1．函数零点的概念：2.函数零点的意义：3．练习：求下列函数的零点；小结：二次函数零点情况（由一元二次次方程的判别式去确定）4．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,．·_____0（＜或＞＝）②在区间上有零点______；·____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数的图象 ①在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．②在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．③在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？定理：-----------------------------------------------------------------------------------------------------。思考？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？（三）、巩固深化，发展思维例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。问题：（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数，并画出它的大致图象．可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．（四）、课堂教学巩固练习及学生作业：1．P88页练习题的（1）、（2）题2.求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3.求下列函数的零点：①、；②、；③、；④、.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．（五）小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.二、教学重点：用二分法求方程的近似解.三、教学重点：恰当的使用信息工具.四、教学过程：（一）、复习准备：1.提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？2.探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题（二）、讲授新课：提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。这种求零点近似值的方法叫做二分法。1．仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。2．为什么由︱a－b︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？先由学生思考几分钟，然后作如下说明： 设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；由于︱a－b︳＜，所以︱x0－a︳＜b－a＜,︱x0－b︳＜∣a－b∣＜,即a或b作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。㈢、巩固深化，发展思维1．完成下面的例题例1．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．练习1、求函数的一个正数零点（精确到）2、设,用二分法求方程内近似解的过程中,计算得到则方程的根落在区间（）.A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定（四）.课堂回顾与小结：二分法的概念,二分法的步骤；注重二分法思想xkb1.com函数与方程复习————《函数与方程》同步练习一.选择题: 1.函数的零点为()(A).1或3(B).-1或3(C).1或-3(D).-1或-32.下列函数在区间[1,2]上有零点的是()3.下列函数中有两个零点的是()4.方程的根的个数为()(A).0(B).1(C).2(D).35.方程的解的个数是()(A).0(B).1(C).2(D).与a的取值有关6.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点的横坐标的是()yyyy0123x01x01x012x(A)(B)(C)(D)7.函数的零点为()(A).(B).(C).(D).8.如果函数在区间(-1,0)内存在零点,则a的取值可以是()(A)(B)0(C)(D)–1一.填空题: 9.函数在R上的零点有_____个  10.已知函数,若f(x)在R上有一个零点,a=_____;若f(x)在R上有2个零点,则a的取值范围为______________.11.方程有两个不等实根,且,则实数k的取值范围为_______.12.若函数有零点,则实数m的取值范围是___________.13.已知函数是R上的奇函数,则函数的图象关于______对称;若有2005个零点(记为),则____.三.解答题:14.已知函数,判断方程在区间[1,1.5]内是否有实数解,如果有,求出一个近似解(精确到0.1).(答案为1.3)15(1)求的定义域;(2)、求证:函数无零点.解：(1){x|