3.1.1方程的根与函数的零点（第一课时）一、内容和内容解析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理．函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标．由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题．这是函数与方程关系认识的第一步．零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件．如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足，则函数在区间内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．定理的逆命题不成立．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”．方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位．函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理．二、目标和目标解析通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间．1、能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；2、正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；4、能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为
时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质．教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用．以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难．学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间．四、教学支持条件分析本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系；另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器．五、教学程序与环节设计创设情境组织探究尝试练习探索研究作业回馈课外活动结合二次函数引入课题．二次函数的零点及零点存在性的判定．练习：重点为零点存在性．进一步探索函数零点存在性的判定．重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的归纳与总结．六、教学过程设计【章头图及章引言的介绍】澳大利亚的兔子数：“爆炸”：在教材第三章的章头图中，我们看到一大群喝水、嬉戏的兔子，但正是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1895年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利
亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了90%的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限的环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度（K）后不再增长，曲线呈“S”型，从数学上来看，可以用指数函数描述一个种群的前期增长情况，用对数函数描述后期期增长的情况．章头图：自然界中动物的种群数量的增长可以选择函数模型来描述，但不同的函数模型反应其不同的增长速度；章引言：不同的实例应选择不同的函数模型来描述，该如何选择呢？本章将作出介绍．这其中还会涉及到解方程的问题．(一)创设情景，揭示课题中外历史上的方程求解：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月．约公元50～100年，由我国古代数学家编成的《九章算术》，就以算法形式给了了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立方释锁法”来解三次或三次以上的高次方程．同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根．国外数学家对方程求解亦有很多研究．9世纪，阿拉伯数学家花拉子米（Al-khowarizmi，约780－850）给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia，约1499－1557）给出了三次方程的和般解法；1545年意大利数学家卡尔达诺（G.Cardano，1501－1576）的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里（L.Ferrari，1522－1565）的四次方程的一般解法．数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1778年，法国数学大师拉格朗日（J.-L.Lagrange，1736－1829）提出了五次方程根式解不存在的猜想．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802－1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811－1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理．虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等．首先我们探求解方程的本质．【问题1】：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程与函数
②方程与函数③方程与函数师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．一元二次方程方程的根二次函数函数的图像图像与轴的交点生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．【问题2】：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？的实根图像与轴的交点
【问题3】：能否把二次函数与一元二次方程的关系推广到一般情形呢？Ø说说方程的实根与函数图像与轴交点的情况；Ø说说方程的实根与函数图像与轴交点的情况．方程的实根情况（有没有？有几个？）函数图像与轴的交点情况（有没有？有几个？）（二）互动交流、研讨新知【函数零点的概念】：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．【问题4】：观察曲线Ø此曲线是否能表示函数？Ø你能从中分析函数有哪些零点吗？Ø从函数图象的角度，你能对函数的零点换一种说法吗？【函数零点的意义】：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．【形成性练习题一】：（1）函数的零点是（）A、B、C、D、（2）求下列函数的零点：①；②．（3）利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：①；②．【函数零点的求法】：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．零点存在性的探索：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与轴的交点情况． 【问题5】：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头．有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断．现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ 第（Ⅰ）组第（Ⅱ）组
第（Ⅰ）组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第（Ⅱ）组中他的行程就不一定曾渡过河．设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系．【问题6】：将河流抽象成轴，将前后的两个位置视为两点．请问当与轴有怎样的位置关系时，间的一段连续不断的函数图象与轴一定会有交点？两点在轴的两侧．设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程．【问题7】：两点在轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？两点在轴的两侧，可以用来表示．设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言．培养学生的观察能力和提取有效信息的能力．体验语言转化的过程．通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．（三）巩固深化、发展思维例、求函数的零点的个数．问题：你想到可以用什么方法来判断函数零点个数？
数据表格123456789－4.0－1.03071.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972函数图像【形成性练习题二】：判断下列函数零点所在的大致区间：①；②．（四）归纳整理、整体认识【问题8】：请回顾本节课所学知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想又有哪些？你还获得了什么？本节课的例题中已知知道函数在区间内有零点，那你能想想办法确定这个零点的具体值吗？七、课后巩固、提高与思考1、一次函数在无零点，则取值范围为．
2、函数仅有一个零点，求实数的取值范围．3、已知函数的图像是连续不断的，且有如下对应值表：123456136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.064函数在哪几个区间内有零点？为什么？4、关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根在内，求的范围．5、已知函数是上的奇函数，其零点，，……，，则＝．6、（08湖北改编）判断方程是否存在实数解？若存在，请给出实数解的存在区间；若不存在，说明理由．八、板书设计九、课后反思
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