方程根与函数零点

-方程的根与函数的零点栖霞二中   徐广俊一、学情分析1.知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合能力也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。2.一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法抽象难懂，所以在教学中应加强师生互动，尽量的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。二、教学内容分析函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究、一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。三、教学目标知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“.-- -函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感、态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.四、教学重点、难点1、教学重点：函数零点的概念，方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根；2、教学难点：方程的根与函数零点之间的联系，用函数的方法求解方程的根。五、教学过程实录（一）引入课题简单介绍本章内容：（第一章）函数的概念→利用函数的图像分析函数的性质→（第二章）学习几个基本初等函数及其简单应用→（第三章）进入新的一章的学习，第三章：函数的应用。这里的函数是一般的函数，而不是哪一种特殊的函数。设计意图：有助于学生理清课程内容，便于使所学内容形成一个完整的知识网络结构。引出本节内容：本节课我们首先学习，函数在方程中的应用，方程的根与函数的零点。（二）抛转引玉1、问题一烟台某天早晨五点的温度是－2℃，十二点的温度是12℃．在这段时间内，假设温度是均匀变化的，问：1）是否存在某时刻的温度为0℃？2）你能从数学的角度来解释这一现象吗？3）能计算出具体的时刻吗？学生回答：从一次函数与一次方程的角度来解决该问题。（设计意图：当温度均匀变化时，温度随时间的变化图是一条直线，学生能够根据已知条件发现直线一定与x轴相交，求出相应函数的解析式，最终得出一次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程的关系作准备．）２、问题二：①师：对于方程，的实数根，同学们能够使用哪些方法解得答案？生：移项合并同类项、化系数为1、十字相乘法、求根公式法等②师：那么同学们有没有方法来求方程的实数根呢？.-- -生：移项合并同类项、化系数为1、十字相乘法、求根公式法都不足于用来解决这样的方程的实数根。师：针对这样的方程的实数根的求解，我们需要寻求新的角度——函数来解决这个方程的问题。通过本节课以及后面的学习，我们将学会这一点。（设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。）（三）新知探究1．方程的根与函数图像观察几个具体方程的根及方程对应函数的图像与横轴交点之间的关系①求方程的根，画函数的图像；②求方程的根，画函数的图像；③求方程的根，画函数的图像；师生共同完成下面表格：方程的根不同根的个数函数的图像与横轴交点个数交点的横坐标①仅有一根1xy11②2xy2-1，３③无实根0xy0无.-- -引导学生自主探究，引领学生观察规律，期待学生回答结论：①方程的不同实数根的个数＝函数的图像与横轴的交点个数；②方程的实数根（值）＝函数的图像与横轴的交点的横坐标（值）；说明：教学过程中也用不同颜色的笔填写以上表格中用不同颜色底纹标识的列；有必要说明“＝”只是为便于记号，用于表示左右相同或相等。（设计意图：考虑到本节内容：方程的根与函数的零点，并无意侧重于一元二次方程与一元二次函数，况且最后仍然要将结论推广到一般的情形，所以这里采用与教材不同的形式，使用几个不同的具体方程与函数，得出方程的根与函数的零点之间的关系，继而直接讨论推广到一般的情形。采用的几个具体方程与函数也是学生非常熟悉的，所以也并不会增加学生发现的难度，却有利于学生最后把结论推广到一般。）2．函数的零点问题引出：以上的结论（方程的根与函数图像之间关系的结论），对于一般的方程和对应的函数是否也同样成立呢？师：为了便于以下问题的讨论，我们先给出函数零点的概念。对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。注意：零点不是点，是一个实数！！（它与方程的根是对应的，即对于方程来说，是方程的根，而对于函数来说，叫函数的零点）师：指出上面（第一部分表格上面）三个函数的零点。生：（回答相关答案）注：此时多媒体显示前面已经填好的表格，并且在表格右边多出一列，标题是函数的零点，分别把练习的答案填入（此处表格略）。师：有必要再次强调：零点不是点，是一个实数！（设计意图：先给出零点概念方便下面的讨论（零点＝函数的图像与横轴的交点的横坐标）；零点不是一个点，而是一个数，这一点初学者很容易混淆，因此有必要多加练习、强调，以加以强化，更好的掌握零点的概念。）3．方程的根与函数的零点的关系的探究师：有了函数零点的概念，以及明白了函数零点表示的意思，请同学们重新表述上面的结论。期待学生回答：①方程的不同实数根的个数＝函数的零点个数＝函数的图像与横轴的交点个数；.-- -②方程的实数根（值）＝函数的零点（值）＝函数的图像与横轴的交点的横坐标（值）；师：由此可知，求方程的实数根，可以通过确定函数的零点来解决；反过来，确定函数的零点，可以通过求方程的实数根来解决；而又由零点的定义，函数的图像与横轴的交点自然也可以确定。因此，我们就建立了函数的零点与方程的根之间的关系，在适当的情况下也就可以使用函数的方法来解决方程的根的问题。（设计意图：建立函数的零点与方程的根之间的对应关系，提出用函数的思想方法来解决方程的根的问题。）4．将方程的根与函数图像之间关系的结论推广到一般的情形说明：本部分内容教材不做要求，这里教师也只是简单的介绍一下，使学生有所了解即可。例：在《几何画板》下展示如下函数的图象：、、，师：请同学们比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。生：两者对应相等。师：虽然方程的根与对应函数图像与横轴交点的横坐标，即方程的根与函数的零点表示不同的意义，然而却通过相同的式子去求解，因此它们得到的结果自然就是相同的。所以，对于一般的方程与其对应函数的图像之间，上面的结论同样成立。请同学们规范总结一下相关结论。生：方程的根＝使成立的值；（设计意图：对推广过程做一定分析，有利于让学生明白数学的结论都是有严格的理论基础的，有利于使学生更好的更系统的掌握知识；考虑到学生负担，也并不做太高要求，了解即可，也可为有兴趣有能力的同学进行深入学习提供基础。）5．例题，巩固新知例题：利用函数的图象来判断方程有无实根，有几个根。学生回答，易产生分歧：函数图象观察得有一个零点，但求解方程后发现方程有两个相等的实数根，那到底方程根的个数是一个还是两个？.-- -师：在前面的结论中，实际上我们已经多次强调方程的根的个数是指不同的根的个数，所以，这里的两个根是相同的，不同的根也就只有一个，利用我们得到的方程的根与函数零点之间关系的结论，原函数只有一个零点。其实，让大家做这道题目，就是要同学们记住：方程的不同根的个数＝函数零点的个数，两个或更多相同的根只作一个计！（设计意图：不但应用新知识解决了问题，还从中深刻明白方程的根个数对根的异同的要求，从而更牢固而又准确的掌握所学知识，更好的应用所学知识。）6．师：用屏幕显示求下列函数的零点.由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；生：四位同学依据要求回答问题．师：根据学生的描述，在黑板上作出图象（在接下来探究零点存在性定理时，图象会成为同学们思考问题的很好的参考）。师：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决的根的存在性问题？师：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是非常有价值的。师：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？ ７．探究图象本质，数形转化解疑 师：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示的函数图象，多次播.-- -放抛物线穿过x轴的画面。生：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.师：正确！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？生：得出f(a)·f(b)