3．1.1 方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点[预习导引]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立．要点一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.解 (1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1 判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错．要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.答案 C解析 ∵f＝－2＜0，f()＝－1＞0，∴f·f＜0，∴零点在上．规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．跟踪演练2 函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是( )A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案 C解析 ∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点．要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点．从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．方法二 由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，
又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数．跟踪演练3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 B解析 令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．1．函数y＝4x－2的零点是( )A．2B．(－2,0)C.D.答案 D解析 令y＝4x－2＝0，得x＝.∴函数y＝4x－2的零点为.2．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解
答案 D解析 ∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．3．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是( )A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)答案 D解析 因为f(9)＝lg9－1＜0，f(10)＝lg10－＝1－＞0，所以f(9)·f(10)＜0，所以y＝lgx－在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x－x2＝0的解的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.5．函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案 A解析 B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )A．1B．2C．3D．4答案 C解析 ∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间是( )x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)答案 C解析 由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．4．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间为( )A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案 B解析 f(1)＝ln1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2＜0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3＞0，所以f(2)·f(3)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案 C
解析 令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，那么方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.7．判断函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解 令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．二、能力提升8．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a＜b＜c，∴f(a)＞0，f(b)＜0，f(c)＞0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．9．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则a＝__________.答案 0或－解析 a＝0时，f(x)只有一个零点－1，
a≠0时，由Δ＝1＋4a＝0，得a＝－.10．设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.答案 2解析 令f(x)＝lnx＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上递增，∵f(2)＝ln2＋2－4＜0，f(3)＝ln3－1＞0.∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.11．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解 (1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．三、探究与创新12．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，∴解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点．由图象得解得－3＜m＜－，即实数m的范围是.13．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，求下列条件下，实数a的取值范围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．解 (1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得2≤a＜.(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得解得＜a＜.
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