3.1.1方程的根与函数的零点（2）从容说课方程的根与函数的零点分别从不同的角度表述同一个问题，通过“方程f（x）=0有实数根”与“函数y=f（x）有零点”的等价性，使得函数与方程从“数”与“形”的角度完成统一.这里要特别注意引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法等内容，使学生体会知识之间的联系.两个函数y=f（x）与y=g（x）图象交点的横坐标就是方程f（x）=g（x）的解；反之，要求方程f（x）=g（x）的解，只要求函数y=f（x）与y=g（x）图象交点的横坐标.“函数”与“方程”之间的关系正是通过函数图象上点的横坐标与对应方程的解之间的对应关系体现出来的.有条件的学校还可以使用计算机借助TheGeometer’sSketchpad（《几何画板》）软件或Excel等软件工具进行演示，帮助学生理解.三维目标一、知识与技能1.会用函数图象的交点解释方程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应方程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积小于0这一结论的实质.二、过程与方法1.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.2.通过探究、思考，培养学生理性思维能力以及分析问题、解决问题的能力.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应用，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程一、创设情景，引入新课师：观察二次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学生探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f
（1）＜0，即f（－2）·f（1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是方程x2－2x－3=0的一个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是方程x2－2x－3=0的另一个根.我们能从二次函数的图象看到零点的性质：1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点－2时，函数值由正变负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成立吗?同学们可以任意画几个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.二、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.求方程f（x）=0的实数根，就是确定函数y=f（x）的零点.一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=0来说，我们可以将它与函数y=f（x）联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.2.应用举例【例1】教科书P102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学生认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用.（1）函数f（x）=lnx+2x－6的图象可以让学生利用计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学生用计算器或计算机得出，使学生通过动手实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的一个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有一个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g（x）=lnx、h（x）=2x－6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f（x）=g（x）+h（x）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f（x）=ax2+bx+1具有以下性质：①对任意实数x1≠x2，且f（x1）=f（x2）时，满足x1+x2=2；②对任意x1、x2∈（1，+∞），总有f（）＞.则方程ax2+bx+1=0根的情况是A.无实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根方法探究：（1）本题由条件①，知函数f（x）的对称轴为x=1；由条件②，知函数f
（x）是凸函数，即a＜0；再由函数f（x）的表达式，知f（x）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f（x）的草图，如下图，发现函数f（x）与x轴交点的位置，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f（x）的图象开口向下，即a＜0.又由x1x2=＜0，可知f（x）=0有两个异号实根，故应选C.方法技巧：解析（2）的求解过程明显比解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，用数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语言之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语言，那么本题就可能会错选.用数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究方程|x2－2x－3|=a（a≥0）的不同实根的个数.方法探究：纯粹从解方程角度来考虑，必须研究两个方程，讨论相当麻烦.从函数图象角度分析，只需研究函数y=|x2－2x－3|与y=a的图象的交点的个数.解：设y=|x2－2x－3|和y=a，利用Excel、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数.如下图，当a=0或a＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a＜4时，有四个实根.方法技巧：有关实根个数的题目，通常都采用数形结合思想.做这类题目，必须遵循两个步骤：一是构造两个熟悉的函数，二是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜.（1）当x∈（0，x1）时，求证：x＜f（x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证：x0＜.方法探究：由于已知二次方程f（x）－x=0的两个根，因此新出现的二次函数f（x）－x应有双根式、一般式两种表现形式.故本题一定是在此进行问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x1，x2是方程f（x）－x=0的两根，且f（x）=ax2+bx+c（a＞0），∴f（x）－x=a（x－x1）（x－x2）=a（x1－x）（x2－x）.∵0＜x1＜x2，且x1＜x2＜，a＞0，∴a（x1－x）（x2－x）＞0，即f（x）－x＞0，a（x1－x）（x2－x）＜a·（x1－x）=x1－x，即f（x）－x＜x1－x.
故0＜f（x）－x＜x1－x，即x＜f（x）＜x1.（2）∵f（x）－x=ax2+（b－1）x+c，且f（x）－x=0的两根为x1，x2，∴二次函数f（x）－x=0的对称轴为x==－.∴=－+－.又由已知，得x0=－，∴=x0+－.又∵x2＜，∴－＞0.故=x0+－＞x0，即x0＜.方法技巧：函数与方程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想方法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以方程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以方程2x（x－2）=－3无实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有一个零点.又因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有一个零点.又因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有一个（3，4）上的零点.
四、课堂小结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积小于0；零点的确定.2.本节学习的数学方法：归纳的思想、函数与方程思想、数形结合思想.五、布置作业教科书P103练习题1.（3）（4），2.（3）（4）.补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所示，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有大于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.方程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知二次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内至少存在一个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1方程的根与函数的零点（2）二次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂小结
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