《方程的根与函数的零点》教学设计一、教学目标知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.。过程与方法：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。情感、态度与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。二、教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.三、教学的方法与手段教学方法：启发式教学、探究式学习教学课件：自制Powerpoint课件多媒体设备：计算机四、教学过程【环节一：揭示意义，明确目标，导入新课】揭示本章意义 多媒体幻灯片演示：古今中外历史上方程的求解，国外数学家对方程求解亦有很多研究。先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求根方法；19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一般方程没有根式解。并且提出问题，指数方程、对数方程等超越方程也是没有求根公式的。那么如何求解指数方程、对数方程等超越方程的解呢？教师活动：用屏幕显示第三章 函数的应用 3.1.1方程的根与函数的零点教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还要做一些基本的知识储备。教师活动：板书标题（方程的根与函数的零点）。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”，教师引出函数零点的概念。【环节二：复习回顾，引入新知，建立联系】体现本章与前面所学过知识之间的练习教师活动：提出问题（1）：我们前面都学过哪些函数？学生板演，（不完整可以由别的学生补充）。设计意图：让学生初步了解本章所要解决的问题，以及本节课将要学习的内容教师提出问题（2）：
如果令上面函数的函数值为0，则函数就变为相应的方程，试着求出这些方程的根。教师提出问题（3）：方程的根与相应函数图像和轴的交点有什么关系？学生活动：根据自己的理解，总结函数零点的概念。（或由其他学生补充完整）学生活动：思考回答。【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义.教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一）函数零点的定义：函数的零点：对于函数y=f(x),使方程的实数x叫做函数的零点）。教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？学生活动：对比定义，思考作答。教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？学生活动：思考作答。教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？学生活动：思考作答。教师活动：对于函数有零点，从“数”的角度理解，就是方程有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。在屏幕上显示：函数有零点 方程有实数根函数的图象与x轴有交点教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化教师活动：展示习题，巩固知识练习1：求下列函数的零点（1）（2）（3）（4）学生活动：同学们思考并解决这个问题，（1），（2），（3）对于学生难度不大。教师活动：函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．设计意图：通过习题加深对函数零点概念的理解。巩固新知，并引入探讨一般形式下，如何确定和求解函数的零点。由具体问题的解决过程中遇到的困难，让学生思考如何判断函数是否存在零点的方法。为以下学习做铺垫。教师活动:思考：函数否存在零点？。存在几个？教师活动：对于给定的较为复杂的函数，如何来确定这个函数是否存在零点，如果有，有几个？如何求解？我们以较为熟悉的二次函数来研究这个问题。 【环节四：探究定理，寻求方法】由熟悉的二次函数的图象的知识，让学生探究并发现函数零点存在定理，初识定理表象。多媒体展示思考问题：二次函数是否存在零点？如果存在，存在几个？零点在什么区间上呢？（在区间上是否存在零点？在上有零点吗？在上呢？为什么？）区间端点函数值对零点存在与否有影响吗？学生思考并回答：教师补充学生活动：归纳总结零点存在定理零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并，那么，函数在区间(a,b)内有零点． 即存在c∈(a,b)，使得，这个也就是方程的根．教师活动：总结定理 【环节五：归纳定理，深刻理解】深入理解实质多媒体展示思考问题：定理的辨析问题1：在定理条件下得到的零点唯一吗？问题2：什么条件下回得到唯一的零点？问题3：反过来，有零点一定能得到吗？问题4：如果，就一定没有零点吗？设计意图：通过系列问题的解决加深对定理的理解，抓住问题的本质。【环节六：应用所学，解决问题】把握理论实质，解决初始问题教师活动：函数否存在零点？。存在几个？学生活动：思考并解决问题，学生易解决函数的零点存在，但无法求出。【环节七：归纳总结，设置疑问】教师活动：如何求出函数的零点呢？下节课我们来解决这个问题。
【环节八：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题巩固习题1.函数的零点为( )Ａ.(0,0),(4,0) Ｂ.0,4 Ｃ.(–4,0),(0,0),(4,0) Ｄ.–4,0,4 2.已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在上有一个零点，则的零点个数为( )Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定 3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 7 23 9 –7 11 –5–12–26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【环节九：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识（1）已知，求取何值时能分别满足下列条件。①有2个零点;②3个零点;③4个零点.【环节十：总结】本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。教学反思学生对于函数和方程的概念都有一定的理解，而对零点的概念本质的理解，教学中老师需要进行强调，避免学生对概念的理解产生错误的认识，这一点我需要加强，学生对函数的应用的意识不强，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。教学时应遵循由浅入深、循序渐进的原则，效果会更好。本节课只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深，只要为下一节做好铺垫即可。本节的教学中应当充分使用信息技术，体现数形结合的数学思想。一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。本节课对于较为复杂函数零点只需确定有无就可以了，至于求解，或是近似解是下一节课解决的问题。
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