新人教A版必修1 高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 导学案

方程的根与函数的零点导学案监利实验高级中学：杨红霞学习目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2.理解零点存在的判定定理.会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围问题.学习过程一、课前准备（预习教材P86~,完成复习1，复习2））复习1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.判别式=.当0，方程有两根，为；当0，方程有一根，为；当0，方程无实根.复习2：方程+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象之间有什么关系？判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学※学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题1：①方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.②方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为.③方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的.问题2:(1)对于函数y=f(x),我们把使    的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数,不是点. (2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当    时,有两个零点;当Δ=0时,有    零点;当    时,没有零点.  问题3:(1)函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标之间的关系:函数y=f(x)的    就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的    ; (2)方程f(x)=0根的情况可以用函数的图像来讨论,事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.试试：（1）函数的零点为；（2）函数的零点为.探究任务二：零点存在性定理问题1：①作出的图象，求的值，观察和的符号②观察右面函数的图象，在区间上零点；0；在区间上零点；0；在区间上零点；0.问题2:(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是        ,并且有      ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)当函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件时,存在零点,至少有一个.(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.①②③如下图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.基础学习交流：1.函数y=x2-2x-3的零点是(  ).A.(-1,0),(3,0) B.x=-1  C.x=3      D.-1和32.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是(  ).A.a1C.a≤1D.a≥13.观察函数y=f(x)的图像,则f(x)在区间[a,b]上    (填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)    0(填“”),在区间[b,c]上    (填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)    0(填“”),在区间[c,d]上    (填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)    0(填“”). 4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?※典型例题例1求函数的零点的个数. 变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法.①代数法：求方程的实数根；②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．※动手试试练1.求下列函数的零点：（1）；（2）.练2.求函数的零点所在的大致区间.三、总结提升※学习小结①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.※当堂检测1.函数的零点个数为（）.A.1B.2C.3D.42.若函数在上连续，且有．则函数在上（）.A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定3.函数的零点所在区间为（）. A.B.C.D.4.函数的零点为.5.若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为.※课后作业1.下列图像表示的函数中没有零点的是(  ).2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x、f(x)对应值表:x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(  ).A.2个 B.3个C.4个D.5个3.函数f(x)为偶函数,其图像与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为    . 4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.5.求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.6.已知函数.（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.