教学案例：《方程的根与函数的零点》东莞市第八高级中学蒋美衡【内容和内容解析】内容：教科书通过研究一元二次方程的根及相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系，导出函数零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某区间上图像连续的函数存在零点的判定方法。内容解析：函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在高一乃至整个高中数学教学中，占有非常重要的地位。方程的根与函数的零点分别从不同的角度表述同一个问题，通过“方程f(x)=0有实数根”与“函数y=f(x)有零点”、“函数图像与x轴交点横坐标”的等价性，使得函数与方程从“数”与“形”的角度完全统一。本节课从探究方程的根和函数的零点之间的关系入手，探索归纳出函数零点的存在条件。所以本节课重点是引导学生从联系的观点理解有关内容，沟通函数、方程、不等式以及算法的内容，使学生体会知识间的联系，同时让学生提炼和体会到从特殊到一般的数学研究方法和数形结合的数学思想。【目标和目标解析】目标：1．理解函数零点的概念。2．理解函数零点与相应方程根的关系。3．通过探究图像掌握函数零点存在的判定条件．目标解析：1．通过探究具体的一元二次方程的根与相应二次函数图像的交点之间的关系，让学生对函数的零点有一个直观的认识。2．通过对零点存在定理的探究，培养学生综合分析问题的能力，让学生感受到数学的严谨，体会到由特殊到一般的数学研究方法和数形结合思想在数学问题解决中的广泛应用。【教学问题诊断】1．学生对二次函数的图像已经比较熟悉，对函数和方程也有一定的了解，但是
还不够清晰，特别是函数与方程之间的内在联系，图形在数学解题中的广泛应用理解不够。而且抽象概括问题的能力还不是很强。2．在函数零点概念的理解上学生可能会存在这样的两个问题：一是将零点误以为是一个点；二是对于一个方程相对应的函数学生在后面的学习过程中往往找不到。例如，对于方程，求其根所在的大致区间时,学生往往不懂得其相应的函数为，数学中转化或是化归的思想运用得不够好。3．对函数零点存在定理的条件的理解学生可能会比较模糊。例如，当一个条件改为时，学生往往会直接认为就没有零点；或是，如果说函数在区间[a，b]上有零点，学生又往往会直接得出。即对函数零点存在定理的必要性和充分性理解不透彻，主要是因为学生的抽象思维能力和数形结合运用的不够好。4．针对以上情况，本节课的重点是函数零点概念的理解和函数零点存在性的确定。在此过程中着重渗透转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想和由特殊到一般的数学研究方法。【教学支持条件分析】多媒体技术的应用能够很好的帮助学生发现和分析问题。在零点存在条件的探究中，几何画板的支撑能够很好地、动态地展示区间变化过程，给学生以直观的认识，有利于学生发现其中的规律，同时突出图形在数学中的应用。【教学过程】一、创设情境：作出二次函数的大致图像？〖设计意图〗由熟悉的二次函数入手，从已知探索未知，符合学生认知规律。并且可以使得新知识与原有知识形成联系。学生一边画图，教师巡视并一边提示：做二次函数的图像我们需要：判断开口方向，然后描出该函数的几个关键点：顶点、与坐标轴的交点，再用光滑的曲线连接起来就可以了。问题：函数与x轴的交点该怎样找到呢？预案：解方程。也就是解教师指出：方程与函数
之间联系。即方程的根就是函数与x轴交点的横坐标。我们可以将方程称之为函数相对应的一元二次方程。反过来，该函数也可以称之为方程相对应的二次函数。即可以表示为：练习：(1)方程相对应的函数为与x轴的交点坐标为（2）方程相对应的函数为与x轴的交点坐标为〖设计意图〗弄清楚函数与相应方程的关系，是函数与方程思想的铺垫。二、引导探究1．函数的零点定义：对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点．问题：函数的零点是我们通常说的点吗？〖设计意图〗加深对零点概念的理解2．函数零点的几何意义：【快速练习一】(1)二次函数当满足什么条件时有两个零点?一个零点?无零点?〖设计意图〗通过熟悉的二次函数来加深对零点的理解以及加强对数形相互转化的认识。(2)已知函数的图像如下，判断该函数是否有零点：④③②①(3)求下列函数的零点：
〖设计意图〗让学生了解和熟悉零点的两种求解方法：图像法和代数法教师指出：从这组练习中，我们可以看到，并不是每一个函数都有零点，也并不是所有的零点都在我们给定的区间内。所以：问题：对于一个函数，我们怎么知道它是否有符合给定条件的零点？预案：解方程求根或者画图找与x轴的交点。问题：我们能解任意一个方程和画出任意一个函数的图形吗？预案：不能。问题：那对于一个这样的函数或是方程时，该怎么办呢？〖设计意图〗制造认知冲突，寻求解决矛盾的方法。3．函数零点的存在定理请大家观察前面练习(1)当中的四个图像，我们来探索在区间(a，b)内存在零点的条件。预案：学生讨论，但反应不明显。老师：现在我们再来看另外一个函数的图像。在这个图像中我们改变区间（a，b）的范围，大家再来探索零点存在的条件。预案：老师和学生一起探索。探索过程：（几何画板演示）初步结论：问题：非常好。这是我们从图形中观察到的，谁能说明为什么端点的函数值异号就会有零点在（a，b）中呢？预案：不要求学生证明，只要求学生能理解就行了。问题：只有这个条件就够了吗？(学生讨论……)预案：图形要连续不断。问题：图形一定要在整个定义域上全部连续不断吗？(学生讨论……)
预案：图形只要在区间（a，b）上连续不断即可。教师提示：由此，我们探索到了一个非常重要的零点存在判定定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)＝0的根。这就是函数零点存在性定理，也叫方程的根的存在性定理。它的作用是用来判断零点的存在，方程的根的存在。从这一定理中可看出，若函数①在闭区间上图象连续，②在区间端点的两个函数值符号互异，则必有零点。例1：判断下列函数在给定区间上是否有零点？〖设计意图〗①是对定理的直接应用，加深对定理的理解和记忆。②这四个题目，每个题目下面都各隐含了一个问题,为下文做铺垫。教师提示：对于①②而言，在给定区间上都是有零点的，那么：问题：“有”零点那是多少个零点呢？（学生讨论……，教师在PPT上展示第一个函数的图像，利用几何画板现场做出第二个函数的图像.如右图。可以看到第一个函数只有一个零点，而第二个函数有三个零点。）预案：“有”零点是表示这个函数至少有一个零点。（教师再展示几个图形）问题：为什么会出现这样的差异呢？（学生讨论……）预案：通过讨论,可以得到:满足那两个条件，并且在区间上是单调的，则只有一个零点。教师提示：从这两个题目可以看到，
零点的存在零点只能判断零点的存在，但是对于个数却是并不能判断的。对于③④，我们可以很快计算出端点值的函数符号是同号的，那是不是这两个函数在给定区间上就没有零点呢？对于这两个函数，我们都很容易画出它们的图形的，通过图形可以进行直观的分析。所以，这两个问题的深入研究留给同学们课后去完成。问题：我们再思考下，若函数（学生讨论……）预案：不一定。教师提示：通过图像分析问题，我们对定理的理解更加深刻了。定理对条件的要求非常严格。当条件改变后，我们就无法判断函数在区间上是否有零点。〖设计意图〗由具体问题出发，通过问题逐步引导学生，给学生提供探究情景,让学生感受从特殊到一般的数学研究方法，同时通过几何画板对图形的展示，培养学生对图形的理解和数形结合的思想。【快速练习二】（1）若函数A.一定没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.零点情况不确定（2）已知,则方程的根的情况为：()A.有且只有一个B.可能有两个C.至多只有一个D.有两个以上〖设计意图〗巩固概念，加深理解。并且在此时还可以提出思考问题：有没有这样一种情况，使得“若函数在区间上有零点，则”或者“是若则函数在区间上没有零点”？给学生课后提供了广阔的思考空间。例2：判断函数
函数的零点是否存在；若存在，求出零点的大致区间；若不存在，请说明理由。〖设计意图〗零点存在定理的简单应用，为练习(2)做铺垫。练习：求函数f(x)=㏑x+2x–6的零点个数。教师引导学生探索。借助计算机或计算器来画函数的图象，对函数有一个零点形成直观认识。同时教师也可以提出，从单纯代数角度也可以这样来考虑：①为了判断零点的存在，需要哪几个方面考虑问题的？（找到）②要确定零点的个数，又是从哪个方面入手的呢？(单调性)③那怎样判断单调性呢？（）〖设计意图〗先借助图像形成直观感性认识，再从代数角度考虑定理的运用，加深对定理的理解。变式：求方程㏑x+2x=6的解的个数.〖设计意图〗加深方程与相应函数的理解。三、反思小结(1)零点的含义(2)零点的求法：①(代数法)求方程的实数根；②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)零点存在定理的应用及理解。【目标检测设计】1、函数的零点是（）………………………………………………【零点的定义】A.2，3B.2，-3C.1，-6D.—1，62、函数的零点的个数是（）…………………………………………【零点的定义】A.2B.3C.4D.无数个3、函数的零点的所在的大致区间为：（）
A.[1,2]B.[3,4]C.[5,6]D.[7,8]…………………………【定理直接应用】4、若函数有一个零点是-3，那么函数零点是………………………………【零点定义、方程思想】5、函数没有零点，则实数a的取值范围是……………………………【分类讨论、与二次函数结合】6、在[-1,1]上存在，使得,则a的取值范围是………………【定理的逆用】7、用熟悉的方法求下列函数的零点：(1)(2)(3)(4)………………………………【加深零点与方程根的联系】8.小组合作讨论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)>0.试探讨函数在区间[a,b]上的零点的情况.…………【加深对定理的理解】9.合作讨论：不用上课提到的方法，探究函数f(x)=㏑x+2x–6的零点个数。………【也可以变形为㏑x=-2x+6，变成两个函数图像的交点】
微信/支付宝扫码支付