福建省厦门市集美区灌口中学2014年高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案2新人教版必修1一、概述本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴交点的横坐标。由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴交点的横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题，这是函数与方程关系认识的第一步。零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足，则函数在区间内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题不成立。方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认知规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。二、教学目标分析数学课程标准强调：“学生要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。”
通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴交点的横坐标以及相应函数零点的关系；2．正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；4．能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数，并会判断存在零点的区间。三、学习者特征分析1．学习者学习准备：学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会。在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质。教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用。以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。2．学习者存在问题预测及对策：（1）知识之间的联系：对函数零点概念的理解不深入，对函数零点存在性定理的理解有偏差，误以为是函数存在零点的充要条件。对策：设置层层深入的巩固性问题，由简单的问题的解决引出相关的知识内容，揭示知识的内涵和外延，加深学生对概念和定理的深刻理解。（2）对函数的图象及性质的理解停留在表面上，不会利用函数的性质及图象来解决问题，对一些综合性较强的问题无从下手。对策：重视对问题本质的认识和理解，强化函数图象性质的深入学习，通过不断的解题来加强理解，提升能力。四、教学策略选择与设计1．数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学
过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，在高三第一轮复习中，以问题带动考纲知识是一种有益的尝试，本课题在“知识回顾，巩固训练”中做了大胆的创新。2．课程标准要求：以学生为主体，充分发挥学生的主动性，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索，与他人合作的良好习惯，让学生体验数学发现和创造的历程。发展学生的创新意识，通过典型事例的分析，使学生理解数学概念和结论逐步形成的过程，体会其中蕴涵的函数与方程的重要数学思想方法。知识的学习是学生的事，不是由教师来包办的，在课堂实践中，应鼓励更多的学生参与到课堂教学活动中来，营造一种适合学生主动探求知识的学习环境，提倡“自由与开放式的追问风气”，鼓励学生独立思考的批判性思维。五、教学资源与工具设计本节教学目标的实现，需要借助计算机，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及函数图象与轴交点的关系；另一方面，制作多媒体课件逐步展示教学内容，增大课堂教学容量。六、教学过程（一）知识回顾，巩固训练题1．求下列函数的零点：（1）；（2）。答：（1）–2；（2）–1，3。说明：（1）零点不是一个点，也不是，而是使的实数。（2）当对应方程易解时，可通过解方程直接求出零点。归纳1：（1）函数零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。（2）方程的根与函数零点的关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。题2．若函数没有零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
解析：由题意，函数没有零点，即方程无解，即方程的判别式小于零，解不等式，得，答案为B。归纳2：二次函数的零点与二次方程的根的关系（设判别式）：二次方程有两个不等的实数根，有两个相等的实数根没有实数根二次函数的图象与轴有两个交点，与轴有唯一交点与轴没有交点二次函数的零点有两个零点，有一个零点没有零点题3．（1）已知定义在上的连续函数的部分自变量和函数值对应如下：123456–4–1.36091.09863.38635.60947.7915根据上表写出的实数解所在的一个区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，2）或（2，3）都可以D．不能确定解析：，，由知方程在区间（2，3）内有解，选B。题3．（2）函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．解析：因为选项中只有，所以函数的零点所在的区间为，选C。归纳3：函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
问题1：函数零点的存在性定理的作用是什么？答：确定零点所在区间。问题2：对于区间上的连续函数，若是的零点，是否一定有？答：否，仅是在上存在零点的充分条件，而不是必要条件。问题3：若，在什么条件下可以得出在上有唯一零点？答：函数是连续的，且在区间上单调。题4．（1）函数的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4解析：函数与的图象如图，当时，，；当时，，而，结合函数图象可知两个函数的图象只能有3个交点，即函数有3个零点。题4．（2）是函数的零点，若，则的值满足（）A．B．C．D．的符号不确定解析：函数在上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性（如图），在上这个函数的函数值小于零，即。归纳4：判断函数零点的个数，一般通过画函数的图象，观察图象的交点个数，即可得函数零点的个数。注：在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．【设计意图】（1）传统的复习课中，教师
总是先进行知识梳理，把一些枯燥的知识内容放电影式地展现，在展示的过程中，学生已经昏昏欲睡；本课题以问题带动思考，引出相关的要复习的知识点，在解决问题的过程中重温了核心数学概念与方法，对于激发学生的学习兴趣及扎实基础有较大的帮助。（2）问题由浅入深，逐层递进，要求学生独立思考、合作探究后加以解答，并提炼出相关数学知识，把课堂真正“还”给了学生，教师引领学生主动思考问题，在与学生的深层次交流中碰撞出思维的火花。（二）要点探究，能力提升例1：已知函数。（1）试确定函数的零点个数；（2）若方程有3个解，求实数的取值范围。思路分析：（1）直接解方程；（2）画出函数与的图象，观察交点；（3）利用导数研究函数的性质（单调性、极值等，从而作出函数的大致图象）。其中（3）为通性通法，具体的解答如下：解：（1），由得或，于是、随的变化情况如下表：↗极大值4↘极小值0↗由表可知，函数在为增函数，在为减函数，在为增函数；当时，取极大值4，当时，取极小值0；∵，，∴函数在上有一个零点，而是在上的另一个零点；∴函数恰有2个零点。
（2），，∵方程有3个解，即函数与函数的图象有3个交点，由（1）及函数的图象可得。例2：已知函数，其中。（1）当时，若的定义域为，求实数的取值范围；（2）判断当时，函数在内是否存在零点。解：（1）函数的定义域为对任意恒成立，设，则，，，所以在递增，在递减，当时，取极小值也就是最小值；当时，，∴的值域为；∵对任意，，∴，解得。（2）∵，∴，又，∵，∴，当时，，∴函数在上为增函数；设，则，∵，∴，∴函数在上为增函数，∴，即，于是，∴函数在内仅有一个零点。【设计意图】利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点（方程是否存在实根）进行判断或利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型，尤其是与导数问题相关的题型，如例1中求参数的取值范围，解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。（三）规律总结，方法提炼
1．方程的根（从数的角度看）、函数图象与轴的交点的横坐标（从形的角度看）、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．2．函数零点的判断：（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；（2）利用函数零点的存在性定理进行判断；（3）通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．3．对于在上的连续函数，若是的零点，不一定有，即仅是在上存在零点的充分条件，而不是必要条件．4．有关函数零点的重要结论：（1）若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点．（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．【设计意图】小结是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，可以检查学生的收获情况；还可以更进一步培养学生的归纳总结能力，而这种能力对学生的高中学习是极其重要的。（四）作业布置1．整理本节课的例题；2．全品高考复习方案，课时作业（十）。【设计意图】作业是学生学习信息的反馈，也是师生互动的一种方式，教师可以发现和弥补教学中的不足，学生也可以找到自身的问题并及时纠正，实现“学数学用数学”，在学用中体验成功的喜悦。（五）教学基本流程
（六）板书设计多媒体课件课题：方程的根与函数的零点归纳1：归纳2：归纳3：归纳4：例题1：例题2：课堂小结：
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