2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 教案（人教A版必修1）

东山学校高一数学组3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标：（1）知识与技能①让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；②让学生了解函数的零点与方程根的联系；③让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用。（2）过程与方法①通过又特殊到一般的归纳思想、函数与方程的思想得出函数零点与方程根的联系以及函数零点存在性的判定；②通过数形结合的思想确定函数的零点。（3）情感、态度与价值观①结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，让学生感受到函数与其他数学内容的有机联系；②以一元二次函数的根及相应函数图象与x轴交点的横坐标的关系，导出函数的零点的概念；以具体函数在某闭区间上存在零点的特点，探究在某个区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，让学生体会到从具体到一般的认知过程；③通过几何画板的演示，培养学生学习数学的兴趣以及动手操作的能力。二、教学重点与难点：重点：方程的根与函数的零点的关系难点：求函数零点的个数问题三、教学方法：多媒体动态演示法、问题探究法四、教学准备：多媒体课件五、课时安排：一课时教学情境设计：一、新课引入：1、方程解法史话：花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。2、问题：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？从函数图象上，你能发现什么？-4- 东山学校高一数学组1123－1－2－3x32－1－20y1123－1－2－3x32－1－20y1123－1－2－3x32－1－20y二、新课教授：1、函数零点的定义：（1）探究：二次函数的图象与x轴交点和相应一元二次方程的根有何关系?①当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点。②当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的一个个交点。③当△＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴无交点。结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。推广：函数的图象与x轴交点和相应的方程的根有何关系呢？结论：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的实数根。（2）函数零点定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点等价关系：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根。说明：练习1让学生自己动手操作，要启发学生将等号右边的项移至等号左边，然后将等号左边的代数式设为函数，再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。1123－1－2－3x32－1－20y练习2、求函数的零点。变式：判断函数是否有零点。2、勘根定理：（1）探究：观察二次函数的图象，发现这个二次函数在区间（－2,1）上有零点，而，即二次函数在区间（2,4）上有零点而，即-4- 东山学校高一数学组（2）定理：如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的实数根。练习3：由下列函数的图象判断它们在上是否有零点，并说明理由。练习4、函数在下列哪个区间有零点()A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)练习5、求证：方程的一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内。总结：函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线：（1）函数在区间内有零点；（2）若，则函数零点可能存在，也可能不存在。例、求函数的零点的个数。分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：（1）利用计算器或计算机作的对应值表；（2）作出函数的图象；（3）确定的单调性；（4）若在区间上连续，并且有，那么函数在区间内有一个实数根；（5）结合单调性确定其定义域内零点个数，即实数根个数。结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。三、小结：1、知识和要求：（1）掌握函数零点的概念；（2）了解函数零点与方程根的关系；（3）学会某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。2、数学思想方法：由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。-4- 东山学校高一数学组课后探究：研究的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试以一种系统的、简洁的方式总结表达。作业：1、教材P922-4-