函数零点或方程根的讨论

第二章一元微分学第五节函数零点或方程根的讨论方程根的讨论与函数零点的讨论是等价的问题。所讨论的方程总可变成之形式。这里总假定函数连续（在具体问题中，可以不连续，但一定是分段连续，此时只需在各个连续段上讨论。）1．这种问题用到的知识和方法主要有：连续函数的性质，中值定理，函数单调性、极值和最值的讨论等。2．常见类型有：（１）证明函数在某区间内有零点。最常用的方法就是连续函数零点存在定理，有时会用到中值定理（主要是罗尔定理）。（２）证明函数在某区间内有唯一零点。此时既要证存在性也要证唯一性，证唯一性，大多利用单调性，极值与最值，反证法等。（３）讨论方程根的情况，此时需指明有根、无根及有几个根。若方程中含有参数，则需根据参数的不同取值情况进行讨论。（4）证明方程有唯一实根，并求极限。3．讨论方程根的问题和讨论曲线与轴的交点问题等价，因此讨论这种问题时尽量与函数作图问题联系起来，只是这里的作图不需考虑凹凸性、拐点、渐近线，只需考虑曲线的升降、极值或最值及自变量趋于区间端点时的极限或单侧极限。这里强调一句：很多问题可以从几何直观上寻找思路。例1：设有次方程证明：当为奇数时，方程恰有一个实根；当为偶数时，方程无实根。证明：令（1）当为奇数时由于，及在内连续，故在内至少有一个零点，即方程在内至少有一个实根；可见，从而知在内严格单调减少，故在内至多有一个零点。即方程在内至多有一个实根；综上知方程在内恰有一个实根；（２）当为偶数时可见当时，当时所以是在内唯一的极值点且为极小值点，因此在处取得最小值且最小值为故对任意，从而知方程无实根。例2．讨论三次方程的实根情况；并问为何值时？方程只有一个实根且为正根。解：时，方程有且只有一个实根；时 令，则有的单调性和极值情况如下表：__0+↗极大值↘极小值↗又，所以当或时，原方程有且只有一个实根，即时，方程有且只有一个实根；当或时，原方程有二个实根，即或时，原方程有二个实根；当且时，原方程有三个实根，即时，原方程有三个实根；综上知当时，方程有且只有一个实根；当或时，原方程有二个实根；当时，原方程有三个实根。由以上分析可知方程只有一个实根且为正根当且仅当，即可知方程只有一个实根且为正根当且仅当。例3.（1）证明方程至多有三个根；（2）证明对任意的正整数，方程至多有三个根。分析：容易想到用反证法。用反证法易得（1）。对（2）易见考察函数，也用反证法，但与（1）有所不同，需用如下结论：若在可导，且，则在内至少有一个零点。这个结论是容易证明的，只需考察函数。（1）证明：令，假设方程有四个或四个以上的根，也即有四个或四个以上零点，则由罗尔定理知，至少有一个零点，而.从而矛盾,故方程至多有三个根。（2）令，假设方程有四个或四个以上的根，也即有四个或四个以上零点，那么至少有三个零点，而至多有两个零点。从而矛盾。故方程至多有三个根。例4.设有方程，其中为正整数,(1)证明此方程存在惟一正根;(2)证明数列收敛,并求此数列的极限。证明：令.（1）由，，知在内至少有一个零点，又在单增，所以在内有唯一零点，即方程存在惟一正根.(2)(分析:这种场合,证明数列收敛一般有两个方法:用单调有界定理,夹逼定理.下面分别用这两个方法来解决问题) 方法一(用单调有界定理).由(1)知,对于固定的,有,故,又,所以,又因为在单增,所以,即数列单调增加.综上知数列单调有界,故数列收敛.,则，且.若,则,,从而矛盾,故.即得.方法二:对于任意给定的,由于,,当时,,从而知当时,,由的任意性知数列收敛,且.(以上用“夹逼定理”(打引号表示与通常的夹逼定理的应用有点不一样)的做法“数学分析”的味道较浓.下面用夹逼定理的通常做法给出一个解答)另解:从而,由夹逼定理可得.对本题而言,最后一种做法不容易想到,但用夹逼定理来解决此类问题是常规的思路.练习题：1.证明:方程恰有一根.(当见是方程的根.由的单调性可知只有)实根2.设.(1)分别把表示成幂和幂的多项式;(2)求证：方程在上无实根；(3)求证：方程无实根．（通过计算，求解决（１）；在（１）基础上很容易证(2)；有了(2)的结论再证(3),只须证方程在内无实根,方程变形为,在内左边非负,右边为负）3．设为正整数），且．证明方程没有大于的实根．）4.讨论方程的实根,并指出根的重数.(i)若,有且只有一个实根,且为单根.(ii)若,为方程的三重根;(iii)若,有两个驻点,,且分别为的极大值点和极小值点,且极大值,极小值为,由此可得结论:时,方程有二个实根,且为其二重根,内有一个单根;时,方程有二个实根,且为其二重根,内有一个单根;时,方程有三个实根,且都是单根;或 时,方程有且只有一个实根,且且单根.),讨论方程的根.时,有且只有一个根;时,有二个根;时,有且只有一个根;时,方程无根.)6．（１）作函数的图形；（2）讨论方程的实根情况，并指出每个根所在的区间．（时（２）中的方程等价于，该问题等价于曲线与直线的交点情况的讨论．结论：时无根；时只有一个根且位于；时有二个根且其一位于另一个根为２；时三个根且分别位于，，内．）7．方程在内有且只有一个根，求的取值范围．（答案或）8．讨论方程的实根情况．（答案时有且只有一个根；时有二个根；时无根）9．设，证明方程有且只有一个根．(可通过考察函数得结论.也可通过考察函数,但需用例3中用到的一个结论)10．讨论曲线与的交点个数．（答案时无交点；时有且只有一个交点；时有二个交点）11．设，（1)证明：对任意正整数，方程在内有且只有一个根；(2)求。（本题方法与例３相似）12．设在上连续，在内二阶可导且，若在上的最大值．（１）证明：存在唯一的，使得；（２）证明：对任意正整数，存在唯一的，使得；（３）证明：．（（１）中的唯一性可用反证法证明；（２）令，用罗尔定理证明存在性，唯一性可用反证法证明；（３）可用单调有界定理证明．13.设,证明:(1)当为奇数时,方程有且只有一个实根;(2)当为偶数时,方程无实((1)当为奇数时,由,,知至少有一个实根.若有两个根,易知,则存在,使得,而,从而矛盾.(2)当为偶数时,则由及(1)之结论,知有唯一驻点,且为的最小值点,又,故方程无实根.)14.设在上二阶连续可导,且在至少有三个零点,证明方程至少有一个根.(令,则,用罗尔定理可得结论。)