函数零点、方程根问题

第一讲：函数零点、方程根问题方法：零值定理、罗尔定理、费马定理、泰勒公式1°关于方程f(x)=0根的存在性,唯一性证明(1)证明方法1)利用零值定理2)通过单调性(或反证法)证根的唯一性(2)典型问题例1设f(x)在(-,)上连续,且证明:存在一(-,),使 解设F(x)=f(x)+x,则F(x)在(-,)上连续因为存在M1>0,使F(M1)>0又因存在M20,即00,使取，则根据零值定理，存在c(x1,x2)使f(c)=0 从而有f(a)=f(c)=f(b),在[a,c],[c,b]上利用罗尔定理存在(a,c),(c,b)使,证明:至少存在一点,使例7设f(x)在1,2上有二阶导数,且,又解由于F(x)在1,2上连续,1,2内可导,且F(1)=F(2)=0 再利用罗尔定理，存在(1,)(1,2)使在1,上，连续,可导，且据罗尔定理，存在（1，2）使F()=0 例8（第五讲/三/4)设，其中均为实数，其中n为正整数。且，证明在至少有n个根，解因为,由于同号，这里k=0,1,,2n 根据零值定理存在至少有2n-1个零点根据罗尔定理反复利用罗尔定理至少有n个零点例9设f(x)在a,b上可导,且,证明:存在(a,b)使得解不妨设，则由 存在1>0,2>0使连续函数f(x)在[a,b]上的最小值在(a,b)中取得即存在(a,b)使据费马定理 ,试证明:至少存在一点,使例10设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,因f(x)在0,1上连续,由积分中值定理，解存在0,1，使据费马定理由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)内取得f(x)在0,1上的最大值，即存在(0,1)，使