2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 教案（人教A版必修1）

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点【教材分析】：本节是选自《普通高中课程标准实验教科书数学》（必修）A版，第一册第三章第一节内容，由于上一章刚学了函数的性质，所以结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点和方程的关系；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习算法提供了基础【学情分析】：由于初中学习了二次函数，及高中又刚学了函数的性质，所以先由二次函数入手学生易于接受，也能很快掌握，通过函数图象及信息技术的使用，学生能够加深认识.【教学目标】：知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法：零点存在性的判定．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．【教学重点】：零点的概念及存在性的判定．【教学难点】：零点的确定．【教学程序与环节设计】：创设情境组织探究尝试练习探索研究作业回馈课外活动结合二次函数引入课题．二次函数的零点及零点存在性的．零点存在性为练习重点．进一步探索函数零点存在性的判定．重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结． 教学过程与操作设计：环节教学内容设置设计意图提问1.我们到现在都学习了哪些具体函数?(一次函数,二次函数,指数,对数,…)（１）．是为了启发学生下面能够想到具体到一般的思路同时为例１的学习作好铺垫．（２）．一是复习，二是为下面画图能顺利进行．２．一次函数,二次函数的图象如何画,要注意哪些要点？进入新课创设情景1．我们来研究方程的根与函数的图象的关系，问：该如何来研究？从哪开始来研究？（学生会想到一元一次方程与一元一次函数图象,一元二次方程与一元二次函数图象，指数方程与图象,… 但要引导学生。)（１）主要是调动学生的思维，使学生的思维处于起步状态。同时，该问题的设置目的还在于培养学生具体到一般的数学思维方法． 组织探究 组织探究 组织探究 组织探究2．对于上述函数与方程，我们应先研究谁好呢？（引导学生发表不同的见解，会发现一元一次方程与一元一次函数图象,一元二次方程与一元二次函数图象，最易研究。）（２）向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的一般思维方法。3．请学生举一些一元一次方程与相应一元一次函数图象,一元二次方程与相应一元二次函数图象的例子。（学生会举出很多例子，启发学生从这些例子中选出有代表性且能解决问题的即可。）例①方程2x－3=0与函数y=2x－3．②方程－2x－3=0与函数y=－2x－3．（３）该问题的设置有一定的开放性，利于提高学生的参与意识。培养学生面对问题时的分析判断能力，选出带有一般性的解决方案。引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，总结出一元(学生归纳：ax+b=0的根x=－(a≠0)相应y=ax+b函数图象与x轴的有交点(－,0)的关系)③方程x2－2x－3=0与函数y=x2－2x－3 ④方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1⑤方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3(学生归纳：二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)．１）△＞０，方程有两不等实根x1,x2，二次函数的图象与轴有两个交点(x1,0)(x2，0)２）△＝０，方程有两相等实根x1=x2，二次函数的图象与一次方程的根与相应一元一次函数图象与x轴的交点(x,0)的关系，培养学生独立思考的能力，通过观察、思考、总结、概括得出结论，并积极和同学进行交流，培养具有与人合作的能力．培养学生的归纳能力推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？轴有一个交点，(x1,0)３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，)（4）函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．找同学说出一次函数和二次函数的零点y=ax+b函数图象与x轴的有一个零点x=－(a≠0)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)１）△＞０，二次函数有两个零点．x=x1,x=x2，２）△＝０，二次函数有一个二重零点x=x1,３）△＜０，二次函数无零点．由一次函数和二次函数的零点归纳更为一般的结论函数零点的意义：函数的零点就是方程的（实数根）亦即函数的图象与轴交点的（横坐标）．即：方程有（实数根）函数的图象与轴有（交点）函数有（零点）．（5）（4）引出零点的概念．引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．再回到具体的函数中来加深体会。根据函数零点的意义探索研究一次函数和二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论，充分发挥学生的主体作用。目的要学生明确零点不是点。再次深化由特殊到一般的思想并培养归纳概括的能力。（由学生来完成），(5)对于一次函数和二次函数的零点易求，那么对于不能用公式法求根的方程如何找出零点呢？先来看具体的函数（零点存在性的探索）：（Ⅰ）观察二次函数的图象：在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）．在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；提出问题，激发学生的学习兴趣和探索精神，使学生的思维走向深化，培养思维的深刻性。分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考，使学生发现规律。引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号与函数零点是否存在的关系．结合函数图象·_____0（＜或＞）．思考：对于函数，在区间上有·>0时，零点的情况？由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？(学生归纳：函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有·＜0，那么函数在（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b），使得f(c)=0这个c也就是方程f(x)=0的根）(由学生找出关键条件：连续不断的一条曲线，有·＜0，那么函数在（a,b）内有零点)怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，充分发挥班级群体思维的互补作用。引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，为后面的应用做准备。例题研究例1．求函数的零点，并画出它的大致图象．（零点可求出，图象可借助计算机或计算器来画函数的图象）例2．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．例1，例2是两个类型，通过对比使学生能总结出一般的函数零点求法。 通过以上两例题你能总结出求函数零点的求法么？：、引导学生归纳：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．培养学生的归纳概括能力及对数学问题的反思意识。尝试练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x．结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．培养动手，和分析图表的能力．列表，借助计算机或计算器来画函数的图象帮助分析．问题拓展1．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点的探究，拓展学生的思维，以达到触类旁通。 2．设函数．（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当时，函数的零点是怎样分布的？作业反馈1．教材P108习题3．1（A组）第1、2题；2．求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）．3．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）．4．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．5．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）巩固学生这节课所学的知识，通过学生的作业反馈，来找出学生掌握不足的地方，再给予纠正，真正实现“学数学用数学”。 收获与体会说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．（1）是检查学生的收获情况。（2）是培养学生的总结能力。课外活动研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．鼓励学生通过探究找到函数的零点与不等式的解的关系。以问题开始再以问题结束，培养学生的自我探究意识。