2012年第1-2期JournalofChineseMathematicsEducationNo.1-22012“方程的根与函数的零点”的教学章建跃（人民教育出版社）一、课标要求也要通过图象直观加以解释.本节内容，学生将学习利用函数的性质求方程的近似解，另外，在建立方程与函数的联系的过程中，体现了“动”体会函数与方程的有机联系.“静”转化的思想———“方程的根”是一个静态的点，等价转化课标在必修模块1“函数概念与基本初等函数I”中，对为“函数的零点”，就与运动变化联系上了，从而为通过“二“函数与方程”提出如下要求.分”（实际上是“区间套”）把根所在的范围（区间）不断缩小，①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及进而不断逼近方程的根，做好了准备.根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.教材从具体的二次函数入手，先建立二次函数的零点与相②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应应二次方程的根的关系，然后将其推广到一般的函数与相应方方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.程的根的关系.这是一个从特殊到一般的过程，“关系”是归纳从上述要求可见，课标只要求以具体函数（特别是二次函推理的结果.这样做，一方面是为了落实课标意图，另一方面也数）为载体，了解函数的零点与方程的根的联系；同时，课标是考虑到从学生的已有知识出发认识新知识.强调了通过函数图象的直观，让学生了解有关原理和方法.因零点存在性定理也采用类似的方法处理，即从具体的二次此，课标引入本节课的内容，旨在让学生学习用函数的性质解函数图象观察，从图象特征到代数表示：由这段曲线连续，且决问题（用连续函数的性质判断方程在某一区间上是否有解），两个端点分别在x轴的两侧，可知f（a）和f（b）正负相反；又由体会函数与方程之间的联系性，而在数学原理上没有过高要求.曲线是连续的，可知连接两个端点的曲线必然要经过x轴，即二、关于教材的理解曲线与x轴一定有公共点（c，0）；由于曲线是函数y=f（x）的图本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、象，所以一定有f（c）=0（a＜c＜b）.于是有：如果函数y=f（x）函数零点存在性定理．的图象在区间［a，b］上连续不断，并且f（a）f（b）＜0，则存在c∈零点的概念出现在连续函数的性质———零点存在性命题之（a，b），使得f（c）=0.以它为基础可以进一步证明连续函数的中，这个性质是为“用二分法求方程近似解”服务的.课标安排其他性质（如介值定理等）.虽然这一定理从几何上看非常直观、“用二分法求方程的近似解”，目的是为反映方程与函数的联系，明确、易懂，但严格证明却不简单，需要用到实数理论中的区增加函数的“应用点”，体现函数应用的广泛性.这部分教材内间套定理和函数连续的定义才能完成.所以，教材借助函数图容的核心概念是函数，而“零点”只是附属于函数的一个小概象，通过几何直观和归纳推理，得到连续函数零点的存在性定念，不属于教学重点，所以不需加以细致的讨论（如“零点是理，是充分考虑到学生的认知水平和知识基础的.一个点还是一个数”）.三、关于教学目标函数的值为0，即f（x）=0，是关于x的方程，因而方程我们曾经在许多场合讨论过“课程目标”和“课堂教学目f（x）=0是否有解与函数f（x）是否存在零点是等价的.这样，求标”的关系.数学教育的“目标域”可以表示为一个从抽象到具方程的解可以转化为求函数的零点．所以，函数零点存在性定理体的连续体，我们可以把这个连续体区分为三个层次的目标.是“用二分法求方程近似解”的基础，因此是本课时的重点．课程目标———宏观目标，是需要付出大量的时间和精力，零点存在性定理是函数在某区间上存在零点的充分不必要经过长期努力才能实现的学习结果，这类目标通常包含着多方条件．如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是一条连续不断面的、更为具体的目标.目前，我国课程标准都采用了“三维目的曲线，并且满足f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内标”的方式来呈现.例如，“发展自主发现、探究实践的能力”，至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质“提高灵活应用知识的能力”，“体验化归与转化、数形结合、函进行判断．定理的逆命题不成立．教材通过图象直观讨论零点存数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值”，在性定理，是因为高中不讲连续函数的概念，不可能以有关连“培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯，感受学续的定义来进行推理，而只能以依靠图象直观地讲道理.因此，习、探索发现的乐趣与成功感”等，都是课程目标的例子.从学习这个命题的过程来说，零点的几何意义（即函数图象与x单元目标———中观目标，用于计划需要几周或几个月的时轴的交点）在认识命题中的作用要比零点是方程的实数根更重间学习的单元，是课程目标的具体化.例如，“学生能利用函数要.从“形”到“数”，先认识零点的几何意义，后联系到实数的性质求方程的近似解”，“能解释函数与方程的联系”都是一根，是自然顺畅的认识过程.对于定理中条件的“充分不必要”，个单元目标，是“学生能用函数的思想方法解决问题”的具体16
TEBIEBAODAO2012年第1-2期JournalofChineseMathematicsEducationNo.1-22012特别报道化.它们描述了一种学生行为和该行为所针对的内容主题.“判别式”判断时，数字运算很繁琐，但用二次函数图象很容易教学目标———微观目标，即课堂教学目标.这一层次的目标说明根的存在性的一元二次方程，“迫使”学生把思路转变到专注于具体内容的学习，只处理细节，它们在计划日常教学中“用二次函数图象来判断”上来.在此基础上，再引导学生发现，发挥作用.例如，本节课的教学目标可以确定为：借助函数图象与性质判断方程根的存在性具有一般意义，从而（1）学生能针对具体方程（如二次方程），说明方程的根、为引出连续函数零点存在性定理做好铺垫.相应函数图象与x轴的交点以及相应函数零点的关系；另外，由于“二次函数图象”比较简单，推广得到定理后，（2）学生能借助具体函数的图象，解释“函数零点存在性定所形成的思维定势，对定理条件的“充分而不必要性”的认识理”的条件是充分而不必要条件；会产生负迁移.化解这一负迁移，可以借助“反例”，如下图.（3）学生能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数yyyy（可使用计算器）；（4）学生能将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，OxOxOxOx并会判断存在零点的区间．当前，在制定课堂教学目标时，混淆目标的三个层次的现认知心理学认为，反例为辨析概念提供了最好的载体，在象很普遍，需要引起广大教师和教研员的高度重视.连续函数零点存在性定理的教学中，使用反例是加深理解定理四、关于教学难点的策略之一.在“义务教育课标”中，有“体会一次函数与二元一次方五、关于信息技术的使用程的关系”“会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解”本课的内容的学习，函数图象是主要载体.为了使学生全面等要求.在一次函数、二次函数的学习中，通过解答“当函数值认识本课内容，除了二次函数图象外，应注意使用超越函数的为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识了方程与函数图象和一般抽象函数的图象.因此，本节课的教学，需要借助计的联系，知道求一次函数y=ax+b图象与x轴的交点的实质就算机或者计算器绘制函数图象，通过观察图象加深理解本课知是解方程ax+b=0；对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴是识；判断零点所在区间的过程中，也要作函数图象，并要计算否相交和方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解的关系，也有一些直函数值，必须借助计算机或计算器以提高效率．观认识．进入高中后，已经学习了函数概念与性质，指数函数、六、关于课题的引入对数函数和幂函数的图象与性质.这些都为学生认识函数与方程1.教科书的思路的联系奠定了基础.教科书按照如下思路展开：实际上，函数的零点这个概念，就是初中所学的“一元二首先，从宏观上提出“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数y＝ax2＋的根与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？”bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标”的直接推广.新、旧知识接着，采取“从特殊到一般”的过程，先讨论三个具体的之间只有一层很薄的窗户纸，一捅就破.学生只要以二次方程和一元二次方程的根与对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标二次函数的联系为载体，经历从特殊到一般化的过程，就可以理解函数零点概念.因此，函数的零点概念不是难点.的关系，再借助判别式讨论抽象的一元二次方程的根与对应的前已指出，连续函数零点存在性定理是借助具体的二次函二次函数图象与x轴交点的横坐标的关系.数图象观察，从图象特征到代数表示，归纳而得的结果.虽然在最后，给出函数零点概念后，将上述结论直接推广到一般“捅破窗户纸”后，定理是直观、明确而易懂的，但如果我们希情形，并指出：“一般地，对于不能用公式法求根的方程f（x）=望学生自己来捅这张“窗户纸”的话，则有一定的困难———主0来说，我们可以把它与函数y=f（x）联系起来，并利用函数的要是他们可能“想不到”：当函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象性质找出函数的零点，从而求出方程的根.”是连续不断的曲线时，连接两个端点的曲线经过x轴（次数不由于初中阶段对二次函数与一元二次方程的关系没有进行限），即曲线与x轴一定有公共点（个数不限），可以用f（a）·过系统讨论，因此上述做法带有“复习整理已有知识，为新知f（b）＜0来表示.因此，在学习连续函数零点存在性定理过程识引入做好准备”的味道.在本课的教学中，到底采取什么方式中，把“图象特征”转化为“代数表示”是真正的难点所在.化复习已有知识，并把“借助二次函数的图象讨论一元二次方程解这一难点，需要通过典型实例（可以让学生举出一些例子）的根”的意图贯穿其中，应该根据学生的具体情况而定.的观察，概括出共同特征———连续不断的曲线段经过x轴时，2.对几种引入方式的分析两个端点的纵坐标一定异号.本节课的课题如何引入，是一个需要仔细思量的问题.实践由于学生非常熟悉用判别式判断一元二次方程的根的情况，中也存在一些不同处理方法.除了照搬书本的处理方法外，还有因此他们的另一个“想不到”可能是“借助二次函数的图象和一些别的处理方法.例如：性质来判断一元二次方程根的存在性及根的个数”.也就是说，（1）问：方程x2－2x－3＝0是否有实根？你是怎样判断的？将方程的问题转化为函数的问题也是难点之一，因为它需要有（2）复习总结一元二次方程与相应函数与x轴的交点及其坐联系的观点，也不是学生自然能想到的.化解的方法是找一个用标的关系：17
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