方程的根与函数零点的教学分层设计与反思

方程的根与函数零点的教学分层设计与反思  【摘要】方程的根与函数零点的分层教学内容包含一个概念、三个等价关系、一个定理.为达成教学目标，本节课先通过四个方程是否有实根，根据学生的思维特点分层设计，让不同层次学生都碰撞思维的火花，激发求知欲，从而引入课题；再利用函数的图像与性质去探究方程的根，给出“函数零点”的定义以及等价关系；最后探究零点存在的条件，引出“零点存在性定理”，并利用该定理解决具体问题，再辅以分层作业，进行巩固提高.  【关键词】方程的根；函数零点；分层设计；教学反思  【基金项目】广州市2013年“十二五”教育规划课题《高中数学作业分层设计的实践研究》的阶段性成果.课题编号：2013B263  2014年10月，广州市黄埔区高中数学学科举行了“同课异构”教学研讨活动，我采用了分层教学设计.作为一名青年教师，我有幸参加此次活动.这次活动的课题是人教A版必修1第三章3.1.1“方程的根与函数的零点”，通过这次活动，笔者对这节课有一些粗浅认识，现记录下来，与大家分享和交流.  一、关于教学目标的分层定位7   课堂教学目标应该以该节教学内容为载体，扎根于具体教学内容之中，对教学目标进一步细化，以突出教学目标对教学的导向作用.而本节课的教学重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理，教学难点是探究函数零点存在的条件.  基于以上认识，本节课的教学目标定位如下：  （1）从一些具体方程（如一次、二次方程）根的求解以及相应函数图像，理解函数零点的概念以及探索出方程的实根与其相应函数零点之间的关系；（2）会将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，并会用定理判断存在零点的区间；（3）通过观察一些特殊函数在区间端点上函数值之积的特点，探索发现函数零点存在性定理；（4）在学习过程中感悟化归与转化、数形结合、函数与方程的数学思想.  对于不同层次的学生，教学目标要求是不一样的：A组学生达到（1）―（2）；B组学生达到（1）―（3）；C组学生达到（1）―（4）.  二、创设问题情境，分层定标，引入零点概念  一个好的引入可以帮助学生更好地理解所学习的内容，激发各个层次学生自己提出数学问题.所以本人在课本的基础上设计了以下问题来引入新课.  教学设计如下：  问题1：判断下列方程是否有解？  ①x-1=0；②x2-2x-3=0；③x3-x=0；④lnx+2x-6=0.  （设计意图：问题1中方程①②③学生都可以利用初中知识解决，但方程④用现有方法解决不了，以此引起认知冲突）  问题2：求出表中方程的实数根，画出相应的函数图像的简图，并写出函数图像与x轴交点的坐标.（由A层次学生回答）7   （设计意图：利用函数的图像与性质去探究方程的根，给出函数零点的概念）  问题3：结合函数零点的定义，你能说说函数y=f（x）的零点、方程f（x）=0的实数根、函数y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？（由B或C层次学生解决）  （设计意图：引导学生发现方程的实数根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系，建构函数的零点与方程的实数根的关系）  三、关于零点存在性定理的辨析处理  1.对零点存在性定理的辨析主要有两个方面：第一，对于定理条件的“充分不必要性”的认识，这可以通过举反例（如画y=x2函数图像）理解.第二，对于定理中零点个数问题，首先要明确“零点的个数”不是这节课的重点，只要让学生在直观上认识到，在定理的条件下，一定能保证零点存在，“有多少个”定理无法确定.课本中的例1，求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数，意在用信息技术做函数值对应表和函数图像，通过直观判断得出结论.本人觉得这节课的重点是方程的根与函数零点的等价关系以及函数零点存在性定理，所以本人把例题改为：  例题设x0是方程lnx+2x-6=0的解，则x0属于区间（）.  A.（-1，0）B.（1，2）  C.（2，3）D.（3，4）  解决完本题后可以利用几何画板画出函数f（x）=lnx+2x-6图像，再次验证结论.7   2.在什么时候进行定理辨析？刚学定理，在对定理不熟练的情况下，马上进行定理的辨析，对部分学生（尤其是A层次学生）来说是有一定难度的，这样的辨析只会弱化对定理的掌握和理解.所以，本人的处理方法是把定理的辨析放在课后练习中处理（详见课堂练习第（6）题），由B和C层次的学生来解决.  四、关于课堂练习的设置――分层作业  根据因材施教的理论，这节课的课堂训练设计为分层练习，分为A、B、C三组练习，以满足不同层次学生的需要.  A组：（由A层次学生展示）  （1）求下列函数的零点：  ①f（x）=2x-1；②y=x-1x；③f（x）=（x+2）（x-4），x0.则函数f（x）在[a，b]上（）.  A.一定没有零点B.至少有一个零点  C.只有一个零点D.零点情况不确定7   概念辨析：  ①将零点存在性定理的条件和结论交换，所得命题成立吗？即命题“函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，那么f（a）?f（b）