《方程的根与函数的零点》教学设计及反思一、教材内容的本质、地位、作用《方程的根与函数的零点》是普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章函数的应用第一部分的内容。普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。二、教学目标分析（一）知识与技能：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.（二）过程与方法：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。（三）情感与价值观：1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生自主学习、合作探究的良好学习品质；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。三、教学重难点分析：教学重点：零点的概念及零点存在性的判定。教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。四、学生学情分析：高一学生经过几年的数学学习，已具备一定的数学素养，对于已学知识或用过的数学思想、方法有一定的应用能力及应用意识，对于本节课而言，从知识上说，函数的概念、图像和性质刚刚学过，本节课是知识的应用，从数学能力上说，数形结合能力、小结概括能力、特殊到一般归纳能力已具备一点。但从本节课教学内容上来看，用函数的观点来研究方程，让学生在课堂中快速通过合作探究来完成解题方法和思路的构建，有一定的挑战性，从学生能力上来看，化归和数形结合的能力还需加强锻炼，知识之间的联系认识上还显不足，探究问题能力有待提升。5
五、教学策略：新课程强调教师要调整自己的角色，改变传统的教育方式，在教育方式上，以学生为中心，让学生成为学习的主人，教师在其中起引导作用即可。基于此，本节课遵循此原则重点采用问题探究和启发引导式的教学方法，一切以学生为中心，处处体现学生的主体地位，让学生在自主学习、合作探究和师生互动中解决问题，为提高学生分析问题、解决问题能力打下基础。本节课采用多媒体辅助教学，节省时间，加快课程进度，增强了直观形象性，提高课堂效益。六、教学过程分析：环节一：揭示课题，展示学习目标目标师：用屏幕显示课题和学习目标生：自主阅读课题和学习目标设计意图：激发学生求知欲，明确本节课的学习目标，使学习更有目的性。环节二：合作探究（一）：零点的定义1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程与函数②方程与函数③方程与函数师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念。生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流。师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？生：思考、讨论、总结、交流。2、引入零点定义，确认等价关系师：这是我们本节课的第一个知识点。板书（一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点）。师：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？生：对比定义，思考作答。师：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？生：思考作答。师：这是我们本节课的第二个知识点。板书（方程的根与函数零点的等价关系）。5
师：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎样理解它？生：思考作答。师：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点3、强化定义，注重运用师：求下列函数的零点：生：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法；师：根据学生的描述，在黑板上作出图象并得出结论。设计意图：通过创设情境，引发自主思考、合作探究，得出结论，解决问题。在探究中充分发挥学生的主动性，培养主动学习的意识，同时也锻炼学生各方面能力的很好机会，为以后的探究学习积累经验和方法，充分体现“授之以鱼，不如授之以渔”的教学理念。环节三：合作探究（二）：零点的存在性定理1、提出问题：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们再来看看能不能解决的根的存在性问题？生：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。师：用屏幕显示学生所论述的解题过程。并引导学生将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。师：如果函数y=的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？生：思考师：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示的函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。生：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.师：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？生：得出f(a)·f(b)
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