必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)

《函数的零点与方程的根》专题复习知识点梳理函数的零点：对于函数，把使的实数叫做函数的零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。函数与方程思想：若=与轴有交点()=0若=()与=()有交点(，)=有解。知识应用考点一函数零点的求法1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(  )A．0    B．1C．2D．32.已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．3.若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是___________4.函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．5.函数f(x)＝的零点个数为(  )A．0B．1C．2D．3解析 法一 由f(x)＝0得或解得x＝－3，或x＝e2.因此函数f(x)共有两个零点．法二 函数f(x)的图象如图所示可观察函数f(x)共有两个零点．答案 B对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．4 考点二零点存在性定理1.根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0必有一个根在区间(  )x－10123ex0.3712.787.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(  )A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(e,3)3.设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(  )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)4.若函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a的取值范围是________．补充：若方程在（0，1）内有解，求a的取值范围。考点三、二分法1．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(  )．A．①②B．①③C．①④D．③④答案 B考点四一元二次方程根的分布【例】►是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．[审题视点]可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．解 ∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.4 检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a＜－或a＞1.例.已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，探究a为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.专题：函数的性质及应用分析：令f（x）ax2－2(a＋1)x＋a－1，（1）由求得a的范围．（2）由，求得a的范围．（3）当a＞0时，由f（1）＜0，且a＞0，求得a的范围；当a＜0时，由f（1）＞0，求得a的范围．再把这两个a的范围取并集，即得所求．解答： 解：关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，令f（x）=ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，（1）由，解得0＜a＜1，故当0＜a＜1时，该方程有一正一负两根．（2）由，解得a∈∅，∴不存在实数a使方程的两根都大于1．（3）由f（1）=a-2（a+1）+a-1＜0，且a＞0，求得a＞0；由f（1）=a-2（a+1）+a-1＞0，且a＜0，求得a无解．综上，当a＞0时，方程的一根大于1，一根小于1．变式训练已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.4 （1）－