利用导数研究方程的根和函数的零点

-.利用导数研究方程的根和函数的零点5．(2021文)〔本小题总分值12分〕函数且〔I〕试用含的代数式表示；〔Ⅱ〕求的单调区间；〔Ⅲ〕令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；5.解法一：〔I〕依题意，得由得〔Ⅱ〕由〔I〕得〔故令，那么或①当时，当变化时，与的变化情况如下表：+—+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为〔Ⅲ〕当时，得由，得由〔Ⅱ〕得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值。-.word.zl. -.故所以直线的方程为由得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m令易得，而的图像在是一条连续不断的曲线，故在存在零点，这说明线段与曲线有异于的公共点解法二：〔I〕同解法一〔Ⅱ〕同解法一。〔Ⅲ〕当时，得，由，得由〔Ⅱ〕得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由得解得所以线段与曲线有异于的公共点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m14．(2021文)〔本小题总分值12分〕设函数．〔1〕对于任意实数，恒成立，求的最大值；-.word.zl. -.〔2〕假设方程有且仅有一个实根，求的取值围．14.解：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.23．(2021文)〔本小题总分值12分〕函数求的单调区间；假设在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值围。23.解析：〔1〕当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。〔2〕因为在处取得极大值，所以所以由解得。由〔1〕中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值围是。12．〔2021年高考卷文科21〕〔本小题总分值14分〕设函数，其中a＞0，曲线在点P〔0，〕处的切线方程为y=1-.word.zl. -.〔Ⅰ〕确定b、c的值〔Ⅱ〕设曲线在点〔〕及〔〕处的切线都过点〔0,2〕证明：当时，〔Ⅲ〕假设过点〔0,2〕可作曲线的三条不同切线，求a的取值围。〔11XX文〕19．〔本小题总分值14分〕函数，其中．〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕当时，求的单调区间；〔Ⅲ〕证明：对任意的在区间均存在零点．〔19〕本小题主要考察导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等根底知识，考察运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。-.word.zl. -.〔Ⅰ〕解：当时，所以曲线在点处的切线方程为〔Ⅱ〕解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论：〔1〕假设变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。〔2〕假设，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕可知，当时，在的单调递减，在单调递增，以下分两种情况讨论：〔1〕当时，在〔0，1〕单调递减，所以对任意在区间〔0，1〕均存在零点。-.word.zl. -.〔2〕当时，在单调递减，在单调递增，假设所以存在零点。假设所以存在零点。所以，对任意在区间〔0，1〕均存在零点。综上，对任意在区间〔0，1〕均存在零点。10.【2021高考18】〔16分〕假设函数在处取得极大值或极小值，那么称为函数的极值点。是实数，1和是函数的两个极值点．〔1〕求和的值；〔2〕设函数的导函数，求的极值点；〔3〕设，其中，求函数的零点个数．【答案】解：〔1〕由，得。∵1和是函数的两个极值点，∴，，解得。〔2〕∵由〔1〕得，，∴，解得。-.word.zl. -.∵当时，；当时，，∴是的极值点。∵当或时，，∴不是的极值点。∴的极值点是－2。〔3〕令，那么。先讨论关于的方程根的情况：当时，由〔2〕可知，的两个不同的根为I和一2，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。当时，∵，，∴一2,－1，1，2都不是的根。由〔1〕知。①当时，，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。②当时．，于是是单调增函数。又∵，，的图象不连续，∴在〔1,2〕有唯一实根。同理，在〔一2，一I〕有唯一实根。③当时，，于是是单调减两数。又∵，，的图象不连续，∴在〔一1，1〕有唯一实根。-.word.zl. -.因此，当时，有两个不同的根满足；当时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：(i〕当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5个零点。(11〕当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9个零点。综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】〔1〕求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。〔2〕由〔1〕得，，求出，令，求解讨论即可。〔3〕比拟复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点。13.【2102高考文22】〔本小题总分值14分〕函数且在上的最大值为，〔1〕求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在〔0，π〕的零点个数，并加以证明。-.word.zl. -.考点：导数，函数与方程。难度：难。分析：此题考察的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。解答：〔I〕在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号在上单调递增〔lfxlby〕〔II〕①当时，在上单调递增在上有唯一零点②当时，当上单调递减存在唯一使得：在上单调递增，上单调递减-.word.zl. -.得：时，，时，，在上有唯一零点由①②得：函数在有两个零点。．〔2021年高考卷〔文〕〕函数.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.(Ⅲ)设a,,所以存在,,使得.由于函数在区间和上均单调,所以当时曲线与直线有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线与直线有且只有两个不同交点,那么的取值围是.2021年高考卷〔文〕〕函数(,为自然对数的底数).(1)假设曲线在点处的切线平行于轴,求的值;(2)求函数的极值;(3)当的值时,假设直线与曲线没有公共点,求的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得.(Ⅱ),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.-.word.zl. -.综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(Ⅲ)当时,令,那么直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解.假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解〞矛盾,故.又时,,知方程在上没有实数解.所以的最大值为.解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:(*)在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,那么有.令,得,-.word.zl. -.当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值围是.综上,得的最大值为.-.word.zl.