《函数的零点与方程的根》教学实录及教学感悟

《函数的零点与方程的根》教学实录及感悟重庆市荣昌仁义中学校喻永文摘要：教师对《函数的零点与方程的根》课堂教学的精心设计及上课后的真实感悟。关键词：课堂实录感悟一、教学背景2016年10月9日，我区为准确把握2017年高考命题趋势，科学制定2017年高考复习方案，加深对高中学科新课标以及高中学科核心素养的理解，促进我区高中教师专业化发展水平，进一步提升我区高中教育教学质量，特聘请重庆市教育科学院专家张晓斌老师亲临我校对全区高中数学教师进行专题《2017年全国卷高考应对策略》讲座，我校承办此次活动，笔者受区教师进修学院的委托，示范一堂高三数学复习课。接受此项工作以后，深感时间紧，任务重，放弃国庆节休假时间，对《函数的零点与方程的根》教学与探究，浅谈体会与感悟。二、教学实录(一）针对高考，考点评估师：从近两年高考来看，预测该专题2017年高考命题热点考向为：（幻灯片：显示表格）考什么怎么考题型和难度函数的零点的确定及应用（有8个省市在此知识点命选填题；有4个省市在此知识点命解答题）1.求函数零点所在区间2.判断函数零点个数题型：选填题难度：中档题3.由函数零点问题求参数范围题型：选填题或解答题难度：压轴题同时，分段函数是高频考点，这两年，有11个省市在此知识点命题.（二）提出问题，回归教材师：先来看看第一个问题，问题1.函数的零点为（）问题简单，请同学们举手回答问题。 生1：选B。师：还有其它选择答案吗？生2：选C.师：现在两位同学出现了选择的分歧，老师还以为这个题目较简单，结果我们的同学在选择时有不同的答案，那么究竟是B或者C正确，老师在此不作肯定性回答，先来复习一下函数的零点的定义，请同学们追寻一下教材，什么是函数的零点呢？（学生思考一会儿）生3:对于函数，使的实数叫做函数的零点.师：现在我们已经回忆起了函数零点的定义，看看刚才的问题（幻灯片），函数的零点并不是真正意义上的点，而是使的实数，现在大家都知道正确答案了，选C.师：看看下一个问题，问题2：你能求出函数的零点吗？（教室内一阵躁动，学生均表示无法解出这个函数的零点。)师追问：问题3.函数有零点吗？生4：有零点，但我求不出来。师：你是怎么判断出来的？生4：我是根据函数零点的存在性定理判断出来的。师在追问：函数零点存在性定理的内容是什么？生4：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.师；回答非常正确，虽然这个函数的零点我们无法解答出来，但我们可以根据函数零点存在性定理来判断函数零点存在，说明函数零点存在性定理是判断函数零点是否存在的一种方式。【设计意图】1、回顾本节知识重点，注意区分零点不是点； 2、得出函数的零点的转化关系，即：函数的零点方程的实数根函数的图象与轴的交点横坐标，为后面的零点存在性定理的应用打下基础.【感悟】通过两个问题，学生将教材中的函数的零点及零点存在性定理有了明确的理解和掌握，为下一步判断函数零点的个数作出铺垫。（三）创设示例，悟出道法师：我们对教材知识熟练了，我们来看这个考点是怎么来考我们的，现在来看一看例题，请看大屏幕（幻灯片）例1.函数的零点个数为。（学生开始自我解答）生5：一个师：说说你的解答方法生5:我无法通过解出函数零点的个数，就令，将向右移，分别画出函数和的图像，它们有一个交点，所以原函数的零点就只有一个。师：很好，如这样求函数零点个数的时候，并不需要我们求出函数的零点，只需要判断它的个数，我们就可以将一个函数分解成几个函数，通过化归转换和数形结合，就得到函数零点的个数，这个同学对这个方法掌握得很好。我们现在可以来总结一下判断函数零点个数的方法是什么？生6：画图，转化为函数图像间的交点个数。师：还有吗？生6：没了。（教室引来一片笑声）师：好，这位同学归纳除了刚才我们例1用的这个方法，其实根据问题1和问题2，同学们，你们还能总结出其它的方法吗？（学生讨论片刻)生7：直接解方程，得根的个数；利用函数零点存在性定理。 师：我们大家齐心协力，共同来总结一下判断函数零点个数的方法。（教师重复一下三个方法）【设计意图】例1是教材例题变式，得出判定函数零点个数的主要方法，对应高考题目设计来源于教材，而略高于教材。【感悟】通过例1学生的回答，学生自己做出来，总结方法还是有局限性，我们教师教学师要加以引导。（四）针对高考、试题感悟师：在函数的零点与方程的根这个考点，除了考察我们判断函数零点的个数，还要考察已知函数零点个数求参数取值范围，下面请看例题2（幻灯片）例2.(2015年北京）设函数，(1)若，则的最小值为________；(2)若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．此题由于难度比较大，由老师引导学生共同解答。【设计意图】此问是2015年北京高考题，是对例1的补充.此题综合性较强，无论横向知识的广度还是纵向知识的深度都对学生的能力提出了较高的要求，但这对学生建构分类讨论、数形结合的数学思想是大有裨益的.（五）课堂小结，提炼方法师：这节课你有什么收获？从知识层面和数学思想层面。生8：知识层面上，掌握了函数的零点定义判断函数零点个数的方法；数学思想层面，再现转化与化归、分类讨论和数形结合的数学思想。6、课后巩固，能力提升师：同学们下课以后将学案上的课后作业完成，明天交来。三、教学感悟（一）知识感悟函数的零点是中学数学的一个重要的概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是函数值为0的实数；从方程的角度看，是相应方程的实数根；从函数的图形表示看，是函数与轴交点的横坐标. 函数是中学数学的核心概念，根本原因之一是因其与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个关联点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机的联系在一起.（二）比较感悟函数与方程比较，一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”.用函数的观点研究方程，本质就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定基础.（三）高考感悟函数与方程在全国卷历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点.这部分试题呈现出设计新颖、思维力度大，常考常新的特点.纵观近三年全国卷高考试题，通常以小题的形式来考查函数的性质、函数与方程思想的应用等.函数的零点个数判定又是函数与方程思想很好的考查典型，是函数与方程的纽带，而函数的零点问题其实质就是两函数图象间的位置关系，又可充分考查转化与化归、数形结合的数学思想.近年，分段函数成为考查的热点，所以本节课选用了一个分段函数的例子，课后作业均出现分段函数的试题，渗透分类讨论的思想.（四）专家点评本节课后，重庆市教育科学院专家张晓斌老师作了如下点评：优点：本节课针对高考，针对学生，有阶梯性和方法性指导，教师并不急于说出结果，让学生先解答说出来，先出现学生犯错误，教师再及时更正，体现了课堂的真实性；教师善于用问题驱动对基础知识的再现，不断追问学生，追逼出问题的根源所在，使得学生对基础知识更加的熟练和掌握，注重问题的变式训练，设置问题具有阶梯性。不足：函数零点的“铁三角”还需要细化，告诉学生求函数零点的方向，解决这类问题的方法，在解答分段函数的零点时，教师还要总结出既要用形，又要用数的综合应用的解题方法。