2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 课件（人教A版必修1）

方程的根与函数的零点东山学校高一数学组 花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。方程解法史话: (1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0引申:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？问题情境: 方程x2-2x+1=0x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2-2x-3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2 函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？结论：函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。零点是一个点吗?注意：零点指的是一个实数方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点等价关系： 练习2、求函数y=x2-5x+1的零点。变式：判断函数y=x3-5x+1是否有零点。练习1、利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根。练一练:（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5. 解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。1(1)－x2＋3x＋5＝0 解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。1(2)2x(x－2)＝－3 解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根。xy0－132112543641(3)x2＝4x－4 解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根。1(4)5x2＋2x＝3x2＋5 012345-1-212345-1-2-3-4xy探究新知:观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，如右图，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。计算f(-2)和f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？ 函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)