方程的根与函数的零点一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。四、教学重点、难点与关键（1）重点：零点存在定理的发现。（2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。（3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”6
的探究模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：让学生在自主探究中，学会发现问题并解决问题，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。六、教学过程教学过程教学内容师生互动理论依据及设计意图创设情境揭示课题1、问题一：（1）解方程；（2）解方程（3）你能求方程的根吗？学生思考方程（3）时，遇到障碍，思路受阻发现教学法强调教师创设问题情境，造成学生强烈的问题意识，激发学生学习的动机。通过三个问题引起认知冲突，寻找到本节课的知识生长点。2、史料分析，引导新法：一次、二次方程，很容易求解，对于三次、四次方程，在16世纪，数学家也找到了求根式解的一般解法，但直到19世纪，阿贝尔、伽罗瓦等数学家才发现，其实高于四次以及含有指数对数形式的方程，没有根式解法，因此对于方程（3）我们必须另辟蹊径教学中融入数学史，激发学生的学习兴趣数学史引导我们同化不行，则要顺应3、问题二：对方程，你能说出方程的根与对应二次函数图象的关系吗？学生给出答案后，教师总结要点：以全新角度审视二次方程，有助于学生形成函数的意识，有利于培养学生思维的发散性与灵活性，为后面利用函数图象探究零点存在性作了铺垫6
4、问题三：_y_x_-1_-2_0_-1_-2_3_2_1_4_4_3_2_1一般地，一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系呢？①学生易得：从特殊到一般，学生体验得到升华②师生结合二次函数图象说出方程根的个数和图象与x轴交点个数的关系③教师指出：函数值为0时的自变量x值起到了联结方程与函数的作用，这个数称之为函数的零点互动交流研讨新知1、函数零点的定义：对于函数，把使的实数x叫做函数的零点。教师叙述并板书定义让学生加深对函数零点定义的感知2、深化概念：①零点不是点，是函数值为0时自变量x的值，是函数图象与x轴交点的横坐标②方程有实数根图象与x轴有交点函数有零点；③零点作用：可以通过函数零点间接研究方程的根教师设置问题学生主动思考，积极回答加深对函数零点概念的理解3、探究：已知函数y=f(x)的图象：(1)函数有无零点，在什么区间？(2)你是如何确定零点所在区间的？(3)能否找到判断函数y=f(x)（1）的解答：学生一般会说区间，教师引导观察区间，零点情况，为第（3）问做铺垫发现教学法强调直觉思维，充分利用直觉思维提出各种有益于问题解决的可能性6
在区间(a,b)上有零点的一般方法？让学生在思考、操作中体会用函数图象分析函数零点存在的过程，直观感知零点存在定理中的条件与结论，突出本节课的重点，突破了难点（2）的解答：学生发表观点，教师引导，先以区间为例，教师板书结果。教师进一步引导学生就区间，(),进行类似研究，一一板书结果为第（3）问进一步做铺垫，。（3）的解答：分析（2）的结果，学生尝试表达结论：若则在内有零点。教师提问：结论对本题函数成立，其它函数呢？给学生留有一定的时间，学生可能会举出反例，如在(，1)上无零点，想不出也没关系，教师对探究题的图象进行截断向上平移处理，从而得到反例。使学生发现我们的结论是有纰漏的，应该增加条件：函数图象连续。6
4、零点存在判定定理：如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么在区间内一定有零点，即存在，也就是方程的根。学生说，教师组织语言，表述定理准确表达判定零点存在的条件与结论，进一步突破本节课的难点5、问题探究，深化理解：问题一：零点存在判定定理中结论是“有零点”，那么有几个？问题二：若函数上的图象是连续不断的一条曲线，，那么上存在零点，反之成立吗？问题三：考虑函数的图象，它们的单调性对函数零点个数有影响吗？激发学生思考与提问，对于提出的问题，教师请学生发表看法，或画图说明。对问题一，学生随手画图，很可能出现有奇数个这个观点，教师抓好这个点，反问并让学生进一步举例，问题二给出利用定理探求零点存在的局限性：即用零点存在判定定理，并不能求出所有的零点问题三说明函数性质特别是单调性，对确定零点个数有重要作用完善对定理的认识，培养学生学习主动性和创造性，通过设问质疑让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。应用举例发展思维例1求函数的零点个数。教师引导学生回到引例中的方程（3），教师用零点知识调整问法，出示例1。让学生体会利用函数零点存在性定理探寻零点的过程，发现零点所在区间结果表达不唯一，为下一节二分法求方程的近似解奠定基础6
巩固训练深化提高1、课本88页练习题1、（1）（3）2、课本88页练习题2、（4）练习1的（3）：要启发学生将“=”右边的项移至左边，也可将“=”左右两边的代数式分别设为函数，画两个函数图象求交点2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。归纳梳理整体升华请回顾本节课学了哪些内容？主要数学思想又有哪些？你还有哪些收获？学生思考回答教师总结通过小结，进一步完善学生的认知结构，从知识与技能、过程与方法、情感三个方面回扣教学目标。布置作业课堂延伸必做作业：（1）课本88页练习2、（1）（4），课本92页：2（2）了解数学史：研读课本选修3-1第七讲千古谜题——伽罗瓦的解答选做作业：你会用哪些方法探究方程的实根或其所在的大致区间。分必做和选做，体现了作业的选择性，让不同的学生学习不同的数学，进一步体现新教材、新课程的理念，给学有余力的学生进行课外提升设计理念:本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情景——师生共同辨析研讨——形成概念结论——应用举例巩固提高”的探究模式，教师真正担当学习情境的创设者，学生探究中的引导者，学生学习中的合作者；而学生则成为新知识的探索者、发现者、建构者，使学生在获得知识的同时，能够掌握学习数学的思维方法、提升进一步学习新知识的能力。6
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