2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 课件 （人教A版必修1）

第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.1.1方程的根与函数的零点 1.理解函数零点的定义以及函数零点与方程根的关系,会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.会用函数零点的存在性定理判断函数是否存在零点. 1231.函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的关系 123【做一做1】已知二次函数y=x2-x-1,则使y=0成立的实数x有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:判别式Δ=1+4=5>0,则方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,即使y=0成立的实数x有2个.答案:C 1232.函数的零点(1)定义:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)几何意义:函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y=f(x)的零点.(3)结论:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.名师点拨并非所有的函数都有零点.例如,函数f(x)=x2+1,由于方程x2+1=0无实数根,故该函数无零点. 123【做一做2-1】已知函数y=f(x)有零点,下列说法不正确的是()A.f(0)=0B.方程f(x)=0有实根C.函数f(x)的图象与x轴有交点D.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根答案:A 1233.函数零点的判定定理名师点拨判断函数y=f(x)是否存在零点的方法:(1)方程法:判断方程f(x)=0是否有实数解.(2)图象法:判断函数y=f(x)的图象与x轴是否有交点.(3)定理法:利用零点的判定定理来判断. 123【做一做3-1】函数f(x)=x2+x-b2的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数解析:∵关于x的一元二次方程x2+x-b2=0的根的判别式Δ=1+4b2>0,∴函数f(x)=x2+x-b2有2个零点.答案:C【做一做3-2】若函数f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,则实数k的取值范围是.解析:∵f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,∴y1=kx与y2=2x的图象在(0,1)内有交点.画出y2=2x在(0,1)内的图象,如图,又知y1=kx过原点,故可知k>2时,y1与y2在(0,1)内有交点.答案:(2,+∞) 1.对零点判定定理的理解剖析:(1)当函数y=f(x)同时满足:①函数的图象在闭区间[a,b]上是连续曲线;②f(a)·f(b)0,但是它存在零点0. 2.函数的零点不是点剖析:我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因此函数的零点不是点,是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实根,方程f(x)=0有几个实根,函数f(x)就有几个零点.例如,函数f(x)=x+1,当f(x)=x+1=0成立时,x=-1,所以函数f(x)=x+1有一个零点-1,由此可见,函数f(x)=x+1的零点是一个实数,而不是一个点. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思1.求函数f(x)的零点时,可考虑解方程f(x)=0,方程f(x)=0无实数根,则函数f(x)无零点,方程f(x)=0有实数根,则方程的实数根是函数f(x)的零点.2.本例(4)小题中容易错写成函数的零点是x=-6和x=2,其原因是没有验根. 题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和-2,则函数g(x)=bx-a的零点为.解析:由已知得-1和-2是方程x2+ax+b=0的根,∴a=3,b=2,∴g(x)=2x-3.令g(x)=2x-3=0,解得x=log23,故函数g(x)的零点为log23.答案:log23 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思当无法解方程f(x)=0时,常用图象法判断函数f(x)的零点个数.对于函数f(x),如果能化为f(x)=g(x)-h(x)的形式,其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来,那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象,它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四【例3】方程log3x+x=3的解所在的区间为()A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:构造函数,转化为确定函数的零点所在的区间.令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-20,f(4)=log34+4-3=log312>0,那么方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).答案:C反思判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题,当无法解方程f(x)=0时,常用函数零点的判定定理来解决. 题型一题型二题型三题型四【变式训练3】根据表格中的数据,可以断定方程ex-2x-5=0的一个根所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=ex-2x-5,此函数的图象是连续不断的,由表可知f(0)=1-5=-40时,f(x)>0,f(x)=0无实根;当x