2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 教案（人教A版必修1）

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lgx＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lgx的零点是1．辨误区函数的零点不是点 我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是(  )A．(±1,0)B．(1,0)C．0D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2．基本初等函数的零点函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数(k≠0)[来源:www.shulihua.net]无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]Δ＞0两个零点[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]Δ＝0一个零点－Δ＜0无零点指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2】若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是(  )A．0B．1C．2D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax＋b ＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得即(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)与二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象联系密切，下面以a＞0为例列表说明．Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象图象与x轴交点(x1,0)，(x2,0)(x0,0)无交点方程f(x)＝0的根x＝x1，x＝x2x＝x0无实数根函数y＝f(x)的零点x1，x2x0无零点因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y＝f(x)的图象如图所示，则方程f(x)＝0的实数根有(  )A．0个   B．1个C．2个D．3个解析：观察函数y＝f(x)的图象，知函数的图象与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f(x)＝0的实数根函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝1－log3x．解：(1)令＝0，解得x＝－3． 故函数f(x)＝的零点是－3；(2)令1－log3x＝0，即log3x＝1，解得x＝3．故函数f(x)＝1－log3x的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝lnx－的零点的个数是(  )A．0   B．1   C．2   D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝lnx与的图象如图所示，因为函数y＝lnx与的图象有两个交点，所以函数f(x)＝lnx－的零点个数为2． 答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f(x)＝x2在区间[－1,1]上有f(－1)·f(1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a，b]上的图象是连续曲线，且在区间(a，b)上单调，若满足f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f(x)＝x2－5x＋6在区间[1,4]上的零点个数．解：错解错解一：由题意，得f(1)＝2＞0，f(4)＝2＞0，因此函数f(x)＝x2－5x＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f(1)＝2＞0，f(2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f(4)＝2＞0，f(2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f(a)·f(b)＞0时，区间(a，b)内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f(a)·f(b)＜0时，区间(a，b)内存在零点，但个数是不确定的．正解由x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3，所以函数f(x)＝x2－5x＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是(  )A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)解析：∵f(6)＝lg6－＝lg6－＜0，f(7)＝lg7－＜0，f(8)＝lg8－＜0，f(9)＝lg9－1＜0，f(10)＝lg10－＞0，∴f(9)·f(10)＜0．∴函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2 ①x1＞0，x2＞0②x1＜0，x2＜0③x1＜0＜x2＜0．④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0．(2)一元二次方程的根的k分布研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑：①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负．③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论．根的分布图象等价条件x1≤x2＜kk＜x1≤x2x1＜k＜x2f(k)＜0 x1，x2(k1，k2)x1，x2中有且仅有一个在区间(k1，k2)内f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例6－1】已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．解：(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m＜0，函数f(x)图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m＞0，函数f(x)图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当0＜m≤1．综上所述，所求m的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f(0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1； (2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即符合题意；当a≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a＋4＝0，解得．综上可知，当a＝0或时，关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：或解得a．因此不存在实数a，使方程两根都大于1．(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足或解得a＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图， 所以必须满足或解得a．因此不存在实数a，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．