2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 习题 （人教A版必修1）

方程的根与函数的零点示例解析【同步教育信息】一.本周教学内容：方程的根与函数的零点二.重点、难点：1.方程，有根函数的图象交轴于（）2.在上连续，存在使3.二分法求方程的近似解【典型例题】[例1]已知关于的方程，分别在下列条件下求实数的取值范围。（1）一个根大于1，一个根小于1（2）一个根大于1，一个根小于（3）两根均在（）内解：设（1）∴∴（2）（3）∴[例2]对实数，求证方程总有两个实数根，一个大于，另一个小于。解：去分母设不是的根∴与原方程同解∵ ∴方程必有两根，一根大于，一根小于[例3]求的范围使得关于的方程（1）有两个实根且满足（2）至少有一个正根解：设（1）（2）①两个正根∴②一正一零∴③一正一负∴[例4]解方程解：时，令上↓∴方程有且仅有一个实根[例5]已知，是方程的两根，且，，则实数的大小关系是。解：设两根为∴ [例6]，若，，（1）求证：且（2）求证：方程在（0，1）内有两个实根解：代入∴∴∴∴顶点∵∴∴在（0，1）内有两个不等实根[例7]方程，，对任意，方程均有根，求的取值范围。解：过点无论为何值均有交点∴ [例8]，试讨论方程的实根的个数。解：研究与的交点如图（1）时一解（2）时两解（3）时无解[例9]方程的解的个数。解：3解令∴一解∴2为一解∴4为一解 [例10]用二分法求方程的一个近似解精确到0.1解：设，经计算∴在（0，1）内有解∴∴解在（0.6875，0.75）内，解为0.71.关于的方程至少有一个小于的实根，求实数的取值范围。2.为何值时关于的方程，有实根。3.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知函数（）（1）当，求的不动点（2）若对任意实数，函数恒有两个相异不动点，求的范围。4.，求证：关于的方程有两个不等实根。5.方程的两根在上，求实数的取值集合。6.讨论方程的解的个数。 [参考答案]1.解：（1）一根小于，一个大于（2）一根小于，一根等于（3）两根均小于∴2.解：令原式在内有根∴3.解：（1）或（2），即恒成立∴4.解：令（1），，开口向上∴方程有两个不等实根（2），，开口向下∴方程有两个不等实根5. 解：∴6.解：时无解，时两解，时四解，时三解，时两解