方程的根与函数的零点(一)说课流程图精品学习资料可选择pdf第1页，共16页-----------------------
一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。四、教学重点、难点与关键（1）重点：零点存在定理的发现。（2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。（3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情境——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的教学模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：精品学习资料可选择pdf第2页，共16页-----------------------
让学生在自主探究中，学会发现问题并解决问题，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。六、教学过程教学教学内容师生互动理论依据及设计意图过程1、问题一：学生思考方程（3）发现教学法强调教师创设问题情（1）解方程2x30；时，遇到障碍，思路受境，造成学生强烈2（2）解方程2x10x50阻的问题意识，激发（3）你能求方程lnx2x60的学生学习的动机。根吗？通过三个问题引起认知冲突，寻找到本创节课的知识生长点。设2、史料分析，引导新法：教学中融入数学情一次、二次方程，很容易求解，史，激发学生的学习兴对于三次、四次方程，在16世纪，境趣数学家也找到了一般的根式解法，但直到19世纪，阿贝尔、伽罗瓦等数学史引导我们数学家才发现，其实高于四次以及揭同化不行，则要顺应含有指数对数形式的方程，没有根示式解法，因此对于方程（3）我们必须另辟蹊径课学生给出答案后，3、问题二：题教师总结要点：以全新角度审视2对方程2x10x50，你能说方程2x210x50的根二次方程，有助于学生出方程的根与对应二次函数图象的形成函数的意识，有利2函数y2x10x5中函于培养学生思维的发关系吗？数值为的自变量的值0x.散性与灵活性，为后面利用函数图象探究零2函数y2x10x5的图点存在性作了铺垫象与轴交点的横坐标x精品学习资料可选择pdf第3页，共16页-----------------------
①学生易得：4、问题三：2方程axbxc0的根一般地，一元二次方程2axbxc0的根与二次函数2yaxbxc的函数从特殊到一般，学2yaxbxc的图象有什么关系值为时自变量的值0x生体验得到升华呢？函数yaxbxc的图象与轴交点的横坐标x②师生结合二次函数图象说出方程根的个数和图象与x轴交点个数的关系③教师指出：函数值为0时的自变量x值起到了联结方程与函数的作用，这个数称之为函数的零点教师叙述并板书让学生加深对函1、函数零点的定义：定义数零点定义的感知对于函数yfx()，把使互fx()0的实数x叫做函数yfx()动的零点。2、深化概念：交让学生加深对函①零点不是点，是函数值为0教师设置问题时自变量x的值，是函数图象与x学生主动思考，积数零点概念的理解流轴交点的横坐标极回答②方程fx()0有实数根yfx()图象与x轴有交点函数yfx()有零点；研③零点作用：可以通过函数零点间接研究方程的根讨（1）的解答：发现教学法强新3、探究：学生一般会说区间调直觉思维，充分已知函数y=f(x)的图象：(3,4),(1,0)，教师引知利用直觉思维提出导观察区间(1,4)零各种有益于问题解(1)函数有无零点，在什么区间？点情况，为第（3）问决的可能性做铺垫精品学习资料可选择pdf第4页，共16页-----------------------
(2)你是如何确定零点所在区间的？（2）的解答：让学生在思考、操学生发表观点，教作中体会用函数图象师引导，先以区间分析函数零点存在的(3)能否找到判断函数y=f(x)在区间(3,4)为例，研究过程，直观感知零点存(a,b)上有零点的一般方法？f(3),f(4)的符号，教在定理中的条件与结师板书结果。论，突出本节课的教师进一步引导学生就区间重点，突破了难点(1,0),(1,4)，(2,1),(1,2)进行类似研究，一一板书结果，为第（3）问进一步做铺垫。（3）的解答：分析（2）的结果，学生尝试表达结论：若fa()fb()0,则fx()在(,)ab内有零点。教师提问：结论对本题函数成立，对其它函数呢？留给学生时间思考，学生可能会举y1出反例，如y在x(1，1)上无零点。然后，教师对探究题的图象进行截断向上平移024x处理，从而得到反例。让学生发现结论有纰漏，应增加条件：函数图象连续。精品学习资料可选择pdf第5页，共16页-----------------------
4、零点存在判定定理：学生对定理的教师引导学生尝如果函数fx()在[a,b]上的图象两个条件认识已经试表述定理是连续不断的一条曲线，且有成熟，适时升华，fa()fb()0，那么yfx()在区间从而进一步突破本(,)ab内一定有零点，即存在节课的难点c(,)ab使fc()0,这个，也就是c方程fx()0的根。5、问题探究，深化理解：完善对定理的认激发学生思考、画问题一：零点存在判定定理中图,发表个人意见。识，培养学生学习主动结论是“有零点”，那么有几个？问题二：若函数fx()在(ab,)上对问题一，学生随性和创造性，通过设问的图象是连续不断的一条曲线，手画图，很可能出现有奇数个这个观点，教师质疑让学生进一步全fa()fb()0，那么fx()在(ab,)上抓好这个点，反问并让存在零点，反之成立吗？学生进一步举例说明面深入地领悟定理的问题三：考虑函数3问题二给出利用内容。y2x3，yx,ylgx的图象，它定理探求零点存在的们的单调性对函数零点个数有影响局限性：即用零点存在判定定理，并不能求出吗？所有的零点问题三说明函数性质特别是单调性，对确定零点个数有重要作用应例1用（1）培养学生问题求函数fx()lnx2x6的零教师引导学生回举意识例点个数。到引例中的方程（3），（2）前后呼应让学生尝试用零点知发识调整问法，出示例展思1。维精品学习资料可选择pdf第6页，共16页-----------------------
（3）学以致用教师引导学生用（4）为二分法求解计算器计算函数值，第奠定基础一次直观验证教师提出问题：在你得到的区间上有几个零点，在其它区间上还有没有零点？引导学生想到单调性和图象，教师展示图象，第二次直观验证1、课本88页练习题1、（1）（3）练习1的（3）：要启发学生将“=”右边的巩2、课本88页练习题2、（4）固项移至左边，也可将训“=”左右两边的代数练式分别设为函数，画两深化个函数图象求交点提高2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。归纳请回顾本节课学了哪些内容？学生思考回答通过小结，进一步完善梳学生的认知结构，从知理主要数学思想又有哪些？你还有哪教师总结识与技能、过程与方整些收获？体法、情感三个方面回扣升华教学目标。必做作业：分必做和选做，体现了作业的选择性，（1）课本88页练习2、（1）（4），布让不同的学生学习置课本92页：2作不同的数学，进一业（2）了解数学史：研读课本选修3-1步体现新教材、新课第七讲千古谜题——伽罗瓦的解答堂课程的理念，给学有延选做作业：余力的学生进行课外伸你会用哪些方法探究方程x1提升e2x3的实根或其所在的大致区间。精品学习资料可选择pdf第7页，共16页-----------------------
板书设计方程的根与函数的零点2函数零点存在判定定理例1函数2x10x50的图象学生举的各种图象例子小结函数零点的定义方程的根与函数的零点（二）（说案）y024x精品学习资料可选择pdf第8页，共16页-----------------------
教材普通高中实验教科书人教A版必修1方程的根与函数的零点说课流程图精品学习资料可选择pdf第9页，共16页-----------------------
课题：方程的根与函数的零点（二）一、教材地位和作用本节课是普通高中实验教科书人教A版必修1第三章第一单元第一节，是后继学习二分法的理论准备。学生通过了解函数零点与方程根的联系，从而把求方程根的问题转化为求函数零点的问题。作为函数应用的第一课时，就是要让学生认识到函数与其他数学知识的联系，让学生用函数的图象这个“形”来研究方程的根这个“数”，深刻体会“以形助数”的思想方法二、学情分析（1）知识基础：学生已经熟练掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函数图象的画法，并能从图象中获取一定信息，这是学习本节课的知识基础。（2）心理准备：公式法求解高次、超越方程的思维受挫是学生学习本节课的内在动机。三、教学目标1、知识与技能：结合具体的二次函数图象，判断二次方程根的存在性，从而了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。2、过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。3、情感态度价值观：在求解方程根的“山穷水尽”，到研究函数零点的“柳暗花明”，学生了解数学的发展史，感受探究的乐趣。四、教学重点、难点与关键（1）重点：零点存在定理的发现。（2）难点：零点存在定理的发现与准确理解。（3）关键：引导学生运用函数的观点研究方程的根。精品学习资料可选择pdf第10页，共16页-----------------------
五、教法与学法（一）教法设计：本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情境——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的教学模式，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力（二）学法指导：让学生在自主探究中，学会发现问题并解决问题，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度。六、教学过程教学教学内容师生互动理论依据及设计意图过程1、问题一：学生思考方程（3）发现教学法强调教师创设问题情（1）解方程2x30；时，遇到障碍，思路受境，造成学生强烈2（2）解方程2x10x50阻的问题意识，激发（3）你能求方程lnx2x60的学生学习的动机。根吗？通过三个问题引起认知冲突，寻找到本创节课的知识生长点。设2、史料分析，引导新法：教学中融入数学情一次、二次方程，很容易求解，史，激发学生的学习兴对于三次、四次方程，在16世纪，境趣数学家也找到了一般的根式解法，但直到19世纪，阿贝尔、伽罗瓦等数学史引导我们数学家才发现，其实高于四次以及揭同化不行，则要顺应含有指数对数形式的方程，没有根示式解法，因此对于方程（3）我们必须另辟蹊径课学生给出答案后，3、问题二：题教师总结要点：以全新角度审视2对方程2x10x50，你能说方程2x210x50的根二次方程，有助于学生出方程的根与对应二次函数图象的形成函数的意识，有利2函数y2x10x5中函于培养学生思维的发关系吗？数值为的自变量的值0x.散性与灵活性，为后面利用函数图象探究零2函数y2x10x5的图点存在性作了铺垫象与轴交点的横坐标x精品学习资料可选择pdf第11页，共16页-----------------------
①学生易得：4、问题三：2方程axbxc0的根一般地，一元二次方程2axbxc0的根与二次函数2yaxbxc的函数从特殊到一般，学2yaxbxc的图象有什么关系值为时自变量的值0x生体验得到升华呢？函数yaxbxc的图象与轴交点的横坐标x②师生结合二次函数图象说出方程根的个数和图象与x轴交点个数的关系③教师指出：函数值为0时的自变量x值起到了联结方程与函数的作用，这个数称之为函数的零点教师叙述并板书让学生加深对函1、函数零点的定义：定义数零点定义的感知对于函数yfx()，把使互fx()0的实数x叫做函数yfx()动的零点。2、深化概念：交让学生加深对函①零点不是点，是函数值为0教师设置问题时自变量x的值，是函数图象与x学生主动思考，积数零点概念的理解流轴交点的横坐标极回答②方程fx()0有实数根yfx()图象与x轴有交点函数yfx()有零点；研③零点作用：可以通过函数零点间接研究方程的根讨（1）的解答：发现教学法强新3、探究：学生一般会说区间调直觉思维，充分已知函数y=f(x)的图象：(3,4),(1,0)，教师引知利用直觉思维提出导观察区间(1,4)零各种有益于问题解(1)函数有无零点，在什么区间？点情况，为第（3）问决的可能性做铺垫精品学习资料可选择pdf第12页，共16页-----------------------
(2)你是如何确定零点所在区间的？（2）的解答：让学生在思考、操学生发表观点，教作中体会用函数图象师引导，先以区间分析函数零点存在的(3)能否找到判断函数y=f(x)在区间(3,4)为例，研究过程，直观感知零点存(a,b)上有零点的一般方法？f(3),f(4)的符号，教在定理中的条件与结师板书结果。论，突出本节课的教师进一步引导学生就区间重点，突破了难点(1,0),(1,4)，(2,1),(1,2)进行类似研究，一一板书结果，为第（3）问进一步做铺垫。（3）的解答：分析（2）的结果，学生尝试表达结论：若fa()fb()0,则fx()在(,)ab内有零点。教师提问：结论对本题函数成立，对其它函数呢？留给学生时间思考，学生可能会举y1出反例，如y在x(1，1)上无零点。然后，教师对探究题的图象进行截断向上平移024x处理，从而得到反例。让学生发现结论有纰漏，应增加条件：函数图象连续。精品学习资料可选择pdf第13页，共16页-----------------------
4、零点存在判定定理：学生对定理的教师引导学生尝如果函数fx()在[a,b]上的图象两个条件认识已经试表述定理是连续不断的一条曲线，且有成熟，适时升华，fa()fb()0，那么yfx()在区间从而进一步突破本(,)ab内一定有零点，即存在节课的难点c(,)ab使fc()0,这个，也就是c方程fx()0的根。5、问题探究，深化理解：完善对定理的认激发学生思考、画问题一：零点存在判定定理中图,发表个人意见。识，培养学生学习主动结论是“有零点”，那么有几个？问题二：若函数fx()在(ab,)上对问题一，学生随性和创造性，通过设问的图象是连续不断的一条曲线，手画图，很可能出现有奇数个这个观点，教师质疑让学生进一步全fa()fb()0，那么fx()在(ab,)上抓好这个点，反问并让存在零点，反之成立吗？学生进一步举例说明面深入地领悟定理的问题三：考虑函数3问题二给出利用内容。y2x3，yx,ylgx的图象，它定理探求零点存在的们的单调性对函数零点个数有影响局限性：即用零点存在判定定理，并不能求出吗？所有的零点问题三说明函数性质特别是单调性，对确定零点个数有重要作用应例1用（1）培养学生问题求函数fx()lnx2x6的零教师引导学生回举意识例点个数。到引例中的方程（3），（2）前后呼应让学生尝试用零点知发识调整问法，出示例展思1。维精品学习资料可选择pdf第14页，共16页-----------------------
（3）学以致用教师引导学生用（4）为二分法求解计算器计算函数值，第奠定基础一次直观验证教师提出问题：在你得到的区间上有几个零点，在其它区间上还有没有零点？引导学生想到单调性和图象，教师展示图象，第二次直观验证1、课本88页练习题1、（1）（3）练习1的（3）：要启发学生将“=”右边的巩2、课本88页练习题2、（4）固项移至左边，也可将训“=”左右两边的代数练式分别设为函数，画两深化个函数图象求交点提高2、先让学生大致描点，然后用计算机给出图象。归纳请回顾本节课学了哪些内容？学生思考回答通过小结，进一步完善梳学生的认知结构，从知理主要数学思想又有哪些？你还有哪教师总结识与技能、过程与方整些收获？体法、情感三个方面回扣升华教学目标。必做作业：分必做和选做，体现了作业的选择性，（1）课本88页练习2、（1）（4），布让不同的学生学习置课本92页：2作不同的数学，进一业（2）了解数学史：研读课本选修3-1步体现新教材、新课第七讲千古谜题——伽罗瓦的解答堂课程的理念，给学有延选做作业：余力的学生进行课外伸你会用哪些方法探究方程x1提升e2x3的实根或其所在的大致区间。精品学习资料可选择pdf第15页，共16页-----------------------
七、教学设计的几点说明1、板书设计方程的根与函数的零点2函数零点存在判定定理例1函数2x10x50的图象学生举的各种图象例子小结函数零点的定义2、时间安排1创设情境，揭示课题6′2互动交流，研讨新知20′3应用举例，发展思维8′4巩固训练，深化提高5′5归纳梳理，整体升华5′6布置作业，课堂延伸1′3、设计理念本节课借鉴发现教学法，强调教师学生双主体，采用“创设问题情境——师生共同探究——形成概念结论——应用巩固提高”的教学模式，教师真正担当学习情境的创设者，学生探究中的引导者，学生学习中的合作者；而学生则成为新知识的探索者、发现者、建构者，使学生在获得知识的同时，能够掌握学习数学的思维方法、提升进一步学习新知识的能力。精品学习资料可选择pdf第16页，共16页-----------------------
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