2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 教案（人教A版必修1）

云南省--------民教杯教学设计课题：3.1.1方程的根与函数的零点（教学设计）云南省李芬【教学分析】【教学目标】1、知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件；（2）培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程互相转化的过程。2、过程与方法通过教师的引导和学生的探究活动，使学生了解、感受函数零点与相应方程的关系，培养学生学会从“特殊”到“一般”过程中获取新知。在探索零点存在的判定条件的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“函数方程思想”、“数形结合思想”、“归纳总结思想”等数学思想。3、情感态度与价值观引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中让学生感受“生活中的数学思维”，从而提高学生学习数学的热情和兴趣，培养学生主动探究的习惯。【教学重点】了解函数零点的概念，掌握方程根和函数零点之间的关系；正确理解函数零点存在的判断条件【教学难点】探究发现函数零点存在的条件，并能正确应用【教学设计】【教学方法】引导－探究式【教学手段】多媒体辅助教学【教学用具】计算机、自制课件【教学过程】（一）问题引入如何求解方程的根？设计意图：此问基于学生的客观现实，更熟悉一元二次方程根的求解，求根公式法的运用，提高学生学习数学的兴趣和探究欲．简介我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.设计意图：增强学生的学习兴趣,了解我国的数学文明（二）研探新知1．提出问题，感知概念讨论：一元二次方程的根与二次函数数的图象有什么关系？先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型．方程与函数；-7- 云南省--------民教杯教学设计方程与函数；方程与函数；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图．完成下列表格设计意图：通过对熟悉的知识，让学生直观感知一元二次方程的根与相对应的二次函数的图像之间的关系，提高学生学习数学的自觉性．由特殊的一元二次方程的根与相应二次函数图像的关系推广到一般的一元二次方程的根与相应二次函数图像间的关系。由学生完成下面的表格-7- 云南省--------民教杯教学设计由学生感知总结出一般结论：一元二次方程有两不同根就是相应的二次函数的图象与轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一元二次方程有两个重根就是相应的二次函数的图象与轴一个交点，且其横坐标就是根；一元二次方程无实数根就是相应的二次函数的图象与轴没有交点；总之，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与轴的交点的横坐标．师生归纳得出一般结论：一般地，方程的实数根，也就是其对应函数的图象与轴交点的横坐标.即方程有实数根Û函数的图象与轴有交点设计意图：让学生由认识事物的常见规律，从特殊到一般，总结得出上述一般结论，直观感知方程的根与函数图像之间的关系2．观察归纳，形成概念（1）函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点．理解概念：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．方程有实数根Û函数的图象与轴有交点Û函数有零点．设计意图：引出求解函数的零点，方程的根的方法探究：如何求函数的零点？例1、函数f(x)=x(x－4)的零点为（）A．(0，0)，(2，0)B．0C．(4，0)，(0，0)D．4，0设计意图：探究出函数的零点存在的条件（2）函数零点存在的条件：-7- 云南省--------民教杯教学设计研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与轴的交点情况。        问题1：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ 第1组能说明他的行程中一定曾渡过河，而第2组中他的行程就不一定曾渡过河。迁移：将河流抽象成轴，将前后的两个位置视为两点。请问当与轴有怎样的位置关系时，间的一段连续不断的函数图象与轴一定会有交点？两点在轴的两侧。问题2：点与轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？两点在轴的两侧，可以用来表示。-7- 云南省--------民教杯教学设计由熟悉的二次函数图像再次体验函数具有零点时函数图像以及函数值的特点，通过上述探究与体验，让学生自己概括出零点存在的条件（零点存在性定理）：设计意图：通过图片直观形象地观察思考，提炼出函数零点存在的条件一般地，我们有：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．⑴函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．⑵函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．3．讲解例题，理解新知例2判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数在区间上连续，且，则在区间内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数在区间上连续，且，则在区间内没有零点.（）（3）已知函数在区间上满足，则在区间内存在零点.（）设计意图：通过例题的讲解，加深对函数零点存在的条件的理解，剖析“函数零点存在的条件”-7- 云南省--------民教杯教学设计【变式练习】若函数在区间上的图象是连续不断的曲线，且函数在内有零点，则的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于0设计意图：应用该题说明函数的零点存在的判断条件只是正用，逆用不一定成立例3.求函数的零点的个数.师生共同分析共同书写过程解法一，结合图像，利用函数性质以及零点存在性定理求解解法二，利用函数的零点与方程的根之间的关系以及函数的图像求解设计意图：通过例三的讲解，熟悉零点存在性定理的用法，并让学生感受到函数的零点与方程的根的在解题中的运用4．课堂练习，巩固所学（1）函数零点的个数是（）    （2）函数在下列哪个区间内有零点（)    设计意图：课堂练习，巩固所学并检验学生对本节课基本概念的掌握情况（四）总结反思1.如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，那么，函数在区间内至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点2.-7- 云南省--------民教杯教学设计3.零点的求法代数法、图象法（五）布置作业课本P88练习1（1）、（2）2（1）、（3）（六）板书设计1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点2.函数的零点实数3.零点存在性定理-7-