方程的根与函数

 3.1.1方程的根与函数的零点课程目标及课程设计理念函数是描述客观世界变化的重要模型，在函数应用这一部分内容中，学生将结合实际问题，感受运用函数概念建立起模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理现实生活的简单问题.学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系.理解基本的概念、结论的本质，了解它们产生的背景、应用和在后继学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数发现和创造的历程，提高学习数学的兴趣.在教学中，还要让学生注意体会蕴含在知识中的数学思想和方法.教学目标及教学设计理念（一）知识与技能1.理解函数零点的概念.2.了解方程的根与函数零点之间的关系.3.掌握函数零点存在性定理及判定函数零点的方法.（二）过程与方法1.结合零点概念的探究发现过程，培养学生自主发现，归纳概括的能力.2.结合零点存在性定理的归纳、分析过程，增进学生合作学习的意识，感悟定理的内涵与外延.3.结合本节知识的学习过程，让学生体会数形结合、从具体到抽象、从特殊到一般的思想、以及方程与函数之间的转化思想.（三）情感态度与价值观1.从易到难，顺应学生的学习心理，使学生能体验到学习的成功感，形成学习知识的积极态度.2.通过对零点概念的和零点存在性定理的辨析，培养学生严谨、辩证的认知态度.学情分析本节课在必修1中的最后一章内容。通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用。这个阶段的学生，思维仍属于经验性的逻辑思维，很大程度上仍需依赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，所有活动都需要学生在知识起点方面有所准备。学生动手、动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有全面成熟，加上函数知识的抽象性，本节课的学习上还是会遇到较多的困难。所以我在本节课的教学过程中，通过设置环环紧扣的问题串引导学生前行，也唤起学生对结论追求的欲望，将学生置于主动参与的地位。 另外，通过小组的形式，实现师生的互动，既有效指导，又不包办代替。教学内容普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。第三章编排了两块内容，一是函数与方程，二是函数模型及其应用。我设计的内容是第三章第一块中的第一节，它是建立和运用函数模型的大背景下展开的，是学习第二节“用二分法求方程的近似解”的理论基础,同时也要为后续学习的算法埋下伏笔.由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。重点难点（一）教学重点理解零点的概念；体会“函数的零点”与“方程的根”之间的关系；掌握零点存在性定理.（二）教学难点零点存在性定理的内涵与外延的理解. 教学环节（一）创设情境，引入新课在数学发展史上，人们曾经非常热衷于解方程.我们熟悉的“一元二次方程的公式解”就是由阿拉伯数学家“花拉子米”发现的.同时，人们也发现有许多方程不存在公式解，比如lnx+2x-6=0，这样的方程怎样求解呢？经过探索，人们想到了去寻找与这个方程对应的函数之间的联系，这就是我们本节课和下节课要研究的问题，今天我们先来学习基础知识《3.11方程的根与函数的零点》.（师生活动：教师板书课题）  “讲背景”是新课程积极倡导的理念之一，本节课就从问题产生的背景中引出课题，开宗明义，紧扣主题。（二）自主探究，形成概念什么是函数的零点？它与方程的根有什么关系？首先，从我们熟悉的二次函数入手，请大家探究一下问题1和问题2结论.问题1：解下列方程，画出对应函数的简图.观察：“方程的根”与“函数图象和x轴交点的横坐标”之间有怎样的关系？⑴　⑵ ⑶　　 　　　　　问题2：对于一般的一元二次方程     问题1和问题2从学生熟悉的一元二次方程和二次函数入手，通过自主探究发现“方程的根就是对应函数图象与x ax2+bx+c=0(a>0)，及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，上面问题1的结论是否仍然成立？结论:方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标.（师生活动：教师到各组观察指导学生自主探究，用实物展台展示学生“导学纲要”问题1、问题2及得到的结论） 问题3：既然“方程的根”与“函数图象和x轴交点的横坐标”关系如此紧密，那么我们有必要将“函数图象和x轴交点的横坐标”起一个新的名字，这就是函数的“零点”（图形语言）.想一想：从自变量和函数值的角度，函数零点的定义可以怎样归纳？函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.（自然语言）问题4：如果使用函数符号y=f(x)，函数零点的定义可以怎样归纳？对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做这个函数的零点.（符号语言） 轴交点的横坐标”这个结论。                 零点概念的引出采用了“归纳法”，注重了从“图形语言”到“自然语言”再到“符号语言”的提炼和转换，符合“从直观到抽象”认知特点，也锻炼学生归纳、概括和表达能力，从多角度理解概念。（三）概念辨析，总结升华问题5：求出下列函数的零点,你能偿试用多种方法求零点吗？⑴y=log2x   　　⑵y=|x|　　　　　（师生活动：教师简要板书，指出求零点的方法：①图象法，②方程法）  问题5的作用有两个：一是落实概念，强调“零点”不是“点”；二是总结方法。  问题6：函数零点的等价关系（用恰当的文字填空）：⑴“方程f(x)=0的实数根”就是函数y=f(x)的　　　　　　　　　　，也就是函数y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　　　　　　　.⑵“方程f(x)=0有实数根”函数y=f(x)　　　　，函数y=f(x)的图象　　　　　　　　　　　　. 总结： 教材中的两个等价关系：在填空之后，教师将其提炼成一幅“示意图”。内层是定量等价关系，外层是定性等价关系。显示了数　　学语言的简捷美和对称美，“示意图”成为本节课的一大亮点。（四）合作探究，剖析定理问题7：（请大家合作探究下面的问题，小组成员之间可以讨论）如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)