2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 课件 （人教A版必修1）

第三章——函数的应用 3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点[学习目标]1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系. 栏目索引CONTENTSPAGE1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功 预习导学挑战自我，点点落实[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？ *3.1.1 方程的根与函数的零点答案方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象 *3.1.1 方程的根与函数的零点方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点 *3.1.1 方程的根与函数的零点[预习导引]1.函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x).f(x)＝0x轴有零点 *3.1.1 方程的根与函数的零点3.函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.温馨提示判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)＜0不一定成立.连续不断f(a)·f(b)＜0f(c)＝0 课堂讲义重点难点，个个击破要点一 求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)＝x2＋7x＋6；解解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6. *3.1.1 方程的根与函数的零点(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；解解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)f(x)＝2x－1－3；解解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26. *3.1.1 方程的根与函数的零点所以函数的零点为－6. *3.1.1 方程的根与函数的零点规律方法求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. *3.1.1 方程的根与函数的零点跟踪演练1判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)；解函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. *3.1.1 方程的根与函数的零点(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.解虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错. *3.1.1 方程的根与函数的零点 *3.1.1 方程的根与函数的零点答案C *3.1.1 方程的根与函数的零点规律方法1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点. *3.1.1 方程的根与函数的零点跟踪演练2函数f(x)＝ex＋x－2所在的一个区间是()A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)在(0,1)内有零点.C *3.1.1 方程的根与函数的零点要点三 判断函数零点的个数例3判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数.解方法一 函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图). *3.1.1 方程的根与函数的零点由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点.从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点.方法二 由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1＞0，∴f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个. *3.1.1 方程的根与函数的零点规律方法判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数. *3.1.1 方程的根与函数的零点跟踪演练3函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， *3.1.1 方程的根与函数的零点答案B 当堂检测当堂训练，体验成功12345D *3.1.1 方程的根与函数的零点123452.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则()A.方程f(x)＝0一定有实数解B.方程f(x)＝0一定无实数解C.方程f(x)＝0一定有两实根D.方程f(x)＝0可能无实数解解析∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.D *3.1.1 方程的根与函数的零点12345D解析因为f(9)＝lg9－1＜0， *3.1.1 方程的根与函数的零点123454.方程2x－x2＝0的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析在同一坐标系画出函数y＝2x，及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3.C *3.1.1 方程的根与函数的零点123455.函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是___________.解析由题意可知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a＞0，即a＜1.(－∞，1) *3.1.1 方程的根与函数的零点课堂小结1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.