2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 教案（人教A版必修1）

校际公开课教案3.1.1方程的根与函数的零点（第一课时）霍邱一中张勇2008-10-22Ⅰ、教学目标：知识与技能：让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切关系；启发学生学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根与函数的零点。过程与方法：通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后的学习中利用这一规律探索更多的未知世界。情感态度与价值观：通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还会让学生充分体验“数学”语言的严谨性，“数学思想方法”的科学性。培养简洁简练、体会从感性到理性的思维过程。Ⅱ、教学重点：“方程的根”与“函数的零点”的关系。Ⅲ、教学难点：函数零点的概念、如何求方程的根与函数的零点。Ⅳ、教学过程：新课导入：上一章我们研究了函数图象的性质，这一节我们来讨论函数的应用—方程的根与函数的零点。一、提出问题：画出下列函数的图象(1)、；（2）、；（3）、。图（1）图（2）图（3）观察一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系(1)、与；（2）、与；（3）、与。容易知道，方程有两个实根；函数的图象与x轴有两个（-1，0），（3，0），如图（1）所示，这样，方程的两个实数根就是函数的图象与x轴交点的横坐标。方程有两个相等的的实数根；函数的图象与x轴有唯一的交点(1,0).如图（2）所示，这样，方程的实数根就是函数３ 的图象与x轴交点的横坐标。方程无实数根，函数的图象与x轴没有交点，如图（3）所示。二、如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，他们之间有什么关系？上述关系对一般一元二次方程及其相应的图象的二次函数也成立。设判别式，我们有：（1）当时，一元二次方程有两个不等的实数根，相应的二次函数图象与x轴有两个交点；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数图象与x轴有唯一的交点；（3）当时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图象与x轴没有交点。小结：当一元二次方程有两个不等的实数根时，与之相应的二次函数与x轴有两个不同的交点；当一元二次方程有两个相等的实数根时，与之相应的二次函数与x轴有唯一一交点；当一元二次方程没有实数根时，那么与之相应的二次函数就与x轴没有交点。反之也成立。三、函数零点的概念对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。注：（1）函数零点是一个实数，当函数的自便量取这个实数时，其函数值等于零，零点不是一个点坐标；（2）函数的零点也就是函数图象与x轴交点的横坐标；（3）求零点就是求方程的实数根。这样，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标。所以方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。探究：观察二次函数的图象，如图（1），我们发现函数在区间[-2，1]上有零点，计算与３ 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间[2，4]上是否也具有这样的特点呢？可以发现，，函数在区间（-2，1）内有零点，它是方程的一个根。同样地，，函数在（2，4）内有零点，它是方程的另一个实数根。四、如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。注：有，可以推出函数在区间（a，b）内有零点，但反之不一定成立。如二次函数在（0，2）内有零点，但。例：画出函数的图象，判断函数在以下区间（-1.5，-1），（0，0.5），（0.8，1.5）内有无零点，并判断零点的个数。解：用计算器或计算机作出、的对应值表和图象（如下）。－1.5－1－0.500.511.5－1.2522.251－0.2503.25 由上表和上图可知，，，即，说明这个函数在区间内有零点。同样，它在区间（0，0.5）内也有零点。另外，，所以1也是它的零点。由于函数在定义域和（1，）内是增函数，所以它共有3个零点。Ⅴ、课堂练习：教材P88练习2（1）Ⅵ、课堂小结：本节学习了：（1）零点的概念；（2）零点的判断方法；（3）利用函数的单调性证明零点的个数。Ⅶ、课堂作业：习题3.1A组第2题３