2022年高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点 导学案 （人教A版必修1）

3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点问题导学一、求函数的零点活动与探究1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.迁移与应用1．函数f(x)＝x2－2x的零点是______，函数f(x)＝x3－1的零点是______．2．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0.若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．二、判断函数零点所在区间活动与探究2函数f(x)＝lnx－的零点的大致区间是(  )A．(1,2)   B．(1，)和(3,4)C．(2,3)D．(e，＋∞)迁移与应用1．函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是(  )A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的最小区间为______．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345判断函数零点所在的区间，可先画出图象，找到零点的大致位置，再利用零点存在性定理找出零点所在区间．三、零点个数的判断活动与探究3判断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点的个数．迁移与应用1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)＜0，则(  )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解 2．函数f(x)＝x－的零点的个数是(  )A．0B．1C．2D．33．若函数f(x)＝x2－ax＋a只有一个零点，则实数a的值是______．判断函数f(x)＝g(x)－h(x)零点个数的方法主要有：(1)解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．(2)直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数．(3)化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数．(4)若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．当堂检测1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是(  )A． B． C． －D． －2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有(  )A．2个B．3个C．4个D．不确定3．函数f(x)＝lgx＋x有零点的区间是(  )A．(1,2)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,3)4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2,3，则a＝______，b＝______.5．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为__________．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 【预习导引】1．使f(x)＝0的实数x预习交流1 提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．有实数根 与x轴有交点 有零点预习交流2 提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．3．连续不断 f(a)f(b)＜0 有零点 f(c)＝0预习交流3 (1)提示：不一定．如f(x)＝x3－x，在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)＜0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)＜0，在(－2,0)内只有一个零点－1.(2)提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)＞0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：解方程f(x)＝0，所得方程的解便是函数的零点．解：(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无解，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3.迁移与应用 1．0,2 12．解：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.活动与探究2 思路分析：先根据图象判断零点的个数，再利用零点的存在性定理判断零点所在的大致区间．C 解析：先根据函数g(x)＝lnx与h(x)＝的图象只有一个交点，说明函数f(x)＝lnx－只有一个零点．∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，∴在(1,2)内，函数f(x)无零点；又f(3)＝ln3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)＝lnx－在(2,3)内有一个零点．迁移与应用 1．D 解析：f(6)＝lg6－＝lg6－＜0，f(7)＝lg7－＜0，f(8)＝lg8－＜0，f(9)＝lg9－1＜0，f(10)＝lg10－＝＞0，∴f(9)f(10)＜0，所以函数f(x)在(9,10)内有零点．2．(1,2) 解析：方程ex－x－2＝0的根就是函数f(x)＝ex－x－2的零点．又f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，∴f(1)f(2)＜0.∴函数f(x)在(1,2)内有零点，即方程ex－x－2＝0在(1,2)内有根．活动与探究3 思路分析：构造函数y＝lnx和函数y＝－x＋3，从而将原问题转化为判断这两个函数图象交点的个数问题．也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断．解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象，如图所示．由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．解法二：因为f(3)＝ln3＞0，f(2)＝－1＋ln2＝ln＜0，所以f(3)·f(2)＜0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．迁移与应用 1．D 解析：函数f(x)的图象不一定连续，所以方程f(x)＝0不一定有解．2．C 解析：令f(x)＝0，即x－＝0，x2＝4，∴x＝±2.3．0或4 解析：函数f(x)＝x2－ax＋a只有一个零点，就是一元二次方程x2－ax＋a＝0有两个相等实根，∴Δ＝(－a)2－4a＝0，a＝0或4.【当堂检测】1．B 解析：函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．2．C 解析：由图象知，函数y＝f(x)已经有两个正的零点．又偶函数的图象关于y轴对称，所以一定还有两个负的零点，所以该函数的零点至少有4个．3．B 解析：∵f＝lg＋＝－1＋＜0，f(1)＝lg1＋1＝1＞0，∴函数f(x)在内有零点．故选B.4．5 －6 解析：由题意知2,3是方程x2－ax－b＝0的两个解．由根与系数的关系知a＝5，b＝－6.5．2 解析：由2|x|＋x＝2得2|x|＝2－x.所以方程2|x|＋x＝2的实根的个数就是函数f(x)＝2|x|与g(x)＝2－x图象交点的个数．在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的图象(略)，由图知，两个函数的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．