高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点 教学设计

3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析 《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．二、教学目标 【知识与技能】理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．【过程与方法】零点存在性的判定．【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点难点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三教学环节设计【教学过程】（一）创设情境，感知概念实例引入解下列方程并作出相应的函数图像2x-4=0;y=2x-4（二）探究1：观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数，完成下表：填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？归纳：判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0两个不相等的实数根有两个相等的没有实数根 (a>0)的根x1、x2实数根x1=x2函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象Oxyx1x2Oyxx1Oxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？师生互动：由一元二次方程抽象出一般方程，由二次函数抽象出一般函数，得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．（三）辨析讨论，深化概念概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D）A．(0，0)，(4，0)B．0，4C．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D．–4，0，4说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．探究2：如何求函数的零点？练习1：求下列函数的零点(1)y=3x-3(2)y=log2x小结：求函数零点的步骤：（1）令f(x)=0；（2）解方程f(x)=0；（3）写出零点.练习2：函数f(x)=x2-4的零点为（）A．(2，0)B．2C．(–2，0)，(2，0)D．–2，2练习3：求下列函数的零点（1）f(x)=-x2+3x+4（2）f(x)=lg(x2+4x-4) 小结：（1）求函数的零点可以转化成求对应方程的根；（2）零点对于函数而言，根对于方程而言.（四）实例探究，归纳定理零点存在性定理的探索．问题5：结合图像，试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点？观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．cbdaxOy完成课本的探究，归纳函数零点存在的条件.【零点存在性定理】如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x∈[，2]；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．（五）正反例证，熟悉定理定理辨析与灵活运用例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)