用二分法求方程的近似解(新)

第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教材分析l“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．l“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．教学目标：1、知识与技能（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法；（2）体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。2、过程与方法（1）通过经历“用二分法求方程近似解”的探索过程，初步体会数形结合思想、逼近思想等。（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．（3）通过设置数学学习环境，让学生了解更多的获取知识的手段和途径。3、情感、态度、价值观（1）在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一。（2）在探究解决问题的过程中，培养学生与人合作的态度、表达与交流的意识和勇于探索的精神。教学重点难点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。重点：二分法基本思想的理解，用二分法求方程近似解的步骤。难点：求方程近似解一般步骤的理解和概括。教学方法：问题—情境式教学第13页共13页 第二章函数教学手段：现代信息技术辅助教学教学过程与操作设计：一、复习引入问题1:你会求哪种方程的解？教师直接以解方程的形式切入主题，多媒体展示数学史资料。让学生对本节课的学习有个清楚的认识，同时，数学史料的给出可以提高学生的学习兴趣，丰富学生的知识。材料：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．复习：（1）方程的根与函数零点的关系（2）根的存在性定理旧知识的复习为本节课方程的求近似解提供依据。二、教学过程问题2：如何求方程的近似解？环节1：学生举例环节2：师生探究教师利用几何画板做出方程所对应函数图象，学生观察图象。紧紧围绕学生所举方程展开教学，激发学生学习主动性，通过对具体方程解的探究，为学生归纳出二分法的步骤埋下伏笔。通过对探究任务的分解及几何画板作图，进一步分散难点，同时让学生体会数形结合的思想和信息技术的重要作用。下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1））探究1.零点的初始区间的确定方法1：试值法方法2：图像法第13页共13页 第二章函数师生共同从所画图象上选择一个最优区间，作为初始区间。利用多媒体动态展示，请学生讨论缩小区间的方法和过程，重点讲清原理。生：我画出了f(x)=x2-2x-1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为f(2)＜0，f(3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．探究2.缩小区间的方法（逼近）找中点，二分区间。缩小区间、逼近零点”是二分法的核心环节，是本课的重点内容，通过学生思考、探究和互动，反复触碰这个核心，不断深化对重点的理解。生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f(2)＜0，f(2.5)＞0，yxO-1-22-231图3所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）．生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f(a)f(b)＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解．师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称．生：对分法．第13页共13页 第二章函数师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．-+23-+22.53-+22.252.53-+22.3752.53-+22.3752.4753教师给出精度的定义。探究3.零点的精确化比如要求精确到0.1，结果是多少？为什么？师生共同完成学生所举例子，帮助学生规范解题格式。培养学生的探究意识，进一步感受精确与近似的相对统一；在经历解决问题的过程中获得方法，建构新知。探究4：当区间达到精度时，区间内的每一个值都可以看成方程根的近似解，为什么？用区间端点做近似解时取哪个端点更好？（再取一次中间值，体会零点离哪个端点更近）问题3：什么是二分法？二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。问题4：用二分法求零点近似值的步骤是什么？给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·，给定精度；(2)求区间，的中点；(3)计算：若=，则就是函数的零点；若·