3.1.2用二分法求方程的近似解高一数学组
1、函数的零点的定义:结论:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否有零点?(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线(2)f(a)·f(b)0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗?
函数在下列哪个区间内有零点?()上节回忆C小练习:
问题:你会解下列方程吗?2x-6=0;2x2-3x+1=0;求方程根的问题相应函数的零点问题你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?思路那你会解这个方程吗?lnx+2x-6=0我们已经知道它有且只有一个解在(2,3)之间似曾相识
如何找到零点近似值??可以转化为函数在区间(2,3)内零点的近似值。求方程的近似解的问题
在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值,实际上就是如何缩小零点所在的范围,或是如何得到一个更小的区间,使得零点还在里面,从而得到零点的近似值。思考:如何缩小零点所在的区间?
看商品,猜价格游戏规则:给出一件商品,请你猜出它的准确价格,我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100~200之间的整数,如果你能在规定的次数之内猜中价格,这件商品就是你的了。
探究:你猜这件商品的价格,是如何想的?在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中?
这能提供求确定函数零点的思路吗?思路:用区间两个端点的中点,将区间一分为二……
对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点c,计算f(c),如果f(c)=0,那么c就是函数的零点;如果不为0,通过比较中点与两个端点函数值的正负情况,即可判断零点是在(a,c)内,还是在(c,b)内,从而将范围缩小了一半,以此方法重复进行……
问题
在区间(2,3)内零点的近似值.(2.5,2.75)(2.5,2.5625)2.52.752.6252.5625(2.5,2.625)-0.0840.5120.2150.06610.50.250.1250.0625(2.5,3)区间长度区间2.53125-0.009(?,?)…
思考:通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值?(如精确度为0.01)精确度为0.01,即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01
(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75)(2.5,2.5625)(2.53125,2.5625)(2.53125,2.546875)(2.53125,2.5390625)2.52.752.6252.56252.531252.546875(2.5,2.625)2.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.00110.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125(精确度为0.01)
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值.由于如图设函数的零点为,则=2.53125,=2.5390625,...所以所以方程的近似解为
结论1.通过这样的方法,我们可以得到任意精确度的零点近似值.2.给定一个精确度,即要求误差不超过某个数如0.01时,可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤,而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点,与零点的误差都不超过给定的精确度,即都可以作为零点的近似值.3.本题中,如在精确度为0.01的要求下,我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2,3)内的零点近似值.4.若再将近似值保留两为小数,那么2.53,2.54都可以作为在精确度为0.01的要求下的函数在(2,3)内的零点的近似值.一般地,为便于计算机操作,常取区间端点作为零点的近似值,即2.53125
对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.二分法概念xy0ab
问题5:你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求函数零点近似值的步骤”吗?二分法的实质:就是将函数零点所在的区间不断地一分为二,使新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近零点.
3.计算;(1)若,则就是函数的零点;1.确定区间,验证,给定精确度;2.求区间的中点;(2)若,则令(此时零点).(3)若,则令(此时零点).4.判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值(或);否则重复2~4.给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
012346578-6-2310214075142273列表尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1).先确定零点的范围;再用二分法去求方程的近似解绘制函数图像
取(1,1.5)的中点x2=1.25,f(1.25)=-0.87,因为f(1.25)·f(1.5)