新人教A版必修2 高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 教学设计

《用二分法求方程的近似解》教学设计姜卫东★新课标要求：【知识与能力】1、体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。2、会用二分法求方程的近似解，并能用计算机(或计算器)辅助求解。3、会用二分法思想解决其他的实际问题。【过程与方法】1、通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。2、通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。3、利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。【情感、态度与价值观】1、通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。2、在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难的意志，建立学习数学的自信心。★教学重点、难点：重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。★教学方法：教师启发诱导，学生主体探究、合作学习等教学形式。★教学工具：实物展台、多媒体课件、电脑Excel软件★教学过程：问题导入问题1：能否求解以下几个方程？（可以先让学生进行讨论、探究，然后请学生代表发言，师生互动）9 问题解决生：对于（1），可以用求根公式求解。但对于（2），无从下手。师：对于方程（2），要求出它的解是较困难的！退一步，我们能否求出它的近似解?（此时学生对如何求方程（2）的近似解，仍然无所适从。这时必须再退一步）师：为此，可以先讨论熟悉的方程(1)的近似解。问题2：不用求根公式，能否求方程（1）的正的近似解？（精确到0.1）（可能部分学生的思路受阻，进一步启发，出示下一问题）问题3:能否以上节课所学知识为出发点找到一个求解的方案?(引导学生，从数学知识的内在结构出发，寻找解决新问题的方法)生：（恍然大悟）可以转化为求函数的零点。师：（进一步强化）求原方程的解就是求对应函数的零点。这也体现了函数与方程之间的内在联系！为此，作出函数的图像（电脑Excel软件）。师：从图像上或可用“试值法”得知从这些信息，我们可以得到什么结论？生：函数在有一个的零点。于是方程（1）在上有一个实根。师：为什么？（这一问学生不可少！）生：因为函数在（2，3）是连续且师：实际上，在区间上又是递增的，所以函数在有唯一的零点。于是方程（1）在上有唯一的实根。现在只找出根的初始区间，接下来要解决什么问题？生：要求方程（1）的正的近似解.问题4:如何进一步有效缩小根所在的区间？(可让学生先自主探究、相互讨论，然后请学生发言)生：可在区间上任取一个值如2.1，然后计算,9 ，从而将方程的根缩小至小区间。又所以根又缩小至区间内。依次类推.师：以上方法不错，我们试一试，看看能得出什么结论？生：到都小于0，但所以（以上这种逼近的方法，并不是最优，但让学生说出此法，充分暴露学生的思维过程,然后进行引导和启发，寻找更优的方案）师:很好，我们将根从区间到，迈进了一步。但仅仅这一步，我们就经过了四次的收缩！而且按这种方法，我取2.01或2.001甚至更小，你认为合理吗？生：不合理。这样做比刚才收缩的更慢，更难逼近！师:那么究竟怎样在区间上取点，才能使收缩更高效？解法优化【问题情境】MP4价格竞猜（假设价格在200元-1000元）(创设问题情境，调整学生的思维结构，激发学生学习数学的热情)【学生活动】生1：随机猜测。生2：每次增加50元地猜测。如：150，200，250，……生3:每次取价格范围的中间价格进行猜测。（每次猜后老师会给出多了还是少了的提示）师：通过刚才三个学生的竞猜，你们比较可以发现：要快速猜出，哪位同学的方案更可靠保险？生：学生3的方案。（通过学生参与问题情境，使学生了解二分法的原理在现实生活中的应用，同时也让他们认识到数学来源于生活，与现实世界有密切的联系）问题5：有没有更好的收缩的方法？请重新回顾问题的解决方式，并联系在竞猜MP4价格中采用的方式，应如何取点较为合理？(受竞猜价格中思维的迁移，学生会自然而然地想到取区间的中点，至此，二分法的思想已经水到渠成)9 生：取区间的中点2.5，利用计算器计算可得：又，所以一下子就将根缩小在区间（2,2.5）内。师：可以发现，用取中点的方法，将根所在的区间收缩的速度更快捷、更合理.但这时区间（2,2.5）还不符合要求，因为区间的两个端点精确到0.1的值不同。接下来，我们需要继续用这种方法将根所在的区间缩的越来越小，进而得到根的近似值。生：再取区间（2,2.5）的中点2.25，计算得，又，所以根在区间（2,2.25）内；如此继续下去,得……（在进行上述操作的过程中，老师可用图例演示根所在区间不断缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；老师也可以让学生独立完成，然后将学生的解题过程在实物展台上展示）师：究竟将根缩小到何时为止，关键取决于最后的精确度要求。由于精确到0.1,而区间的两个端点精确到0.1时，都是2.4，故方程（1）的近似解为。理论提升一、二分法的定义问题6：简述上述求方程近似解的过程（通过自己的语言表达，有助于学生对概念、方法的理解）师：结合学生所讲的求近似解过程，给出二分法的定义。对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)