用二分法求方程的近似

用二分法求方程的近似解山东省枣庄市薛城舜耕中学高中数学组 李勇  教学目标 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备． 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．   教学重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．   教学难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．   教材分析 本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.   学情分析 通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法” 求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握MicrosoftExcel软件一些基本的操作.   教学媒体分析 多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、MicrosoftExcel、QBASIC语言应用程序   教学方法 动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践   教学环节设计流程图         教学设计理念 1.构建共同基础，提供发展平台； 2.提供多样解法，适应个性选择； 3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式； 4.注重提高学生的数学思维能力； 5.发展学生的数学应用意识；  6.与时惧进地认识“双基”； 7.强调本质，注意适度形式化； 8.体现数学的文化价值； 9.注重信息技术与数学课程的整合； 10.建立合理、科学的评价体系.   教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用   情 境 导 航中外历史上的方程求解  在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月． 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．  师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题．   生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.  Authorware7.02课件展示 探 索 发 现这节课就让我们来共同学习一下§3.1.2《用二分法求方程的近似解》   想一想   我们已经知道，函数在区间（2，3）内有零点，且＜0，＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？   做一做 第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈－0.084.因为(2.5)·＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.                                       第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512.因为(2.5)·(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.   结论:由于(2，3) (2.5，3)(2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．  生：用计算器算得 (2.5)≈－0.084 (2.75)≈0.512     几何画板4.06中文版演示计算结果    探 索 发 现   师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.Authorware7.02课件展示                         例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625－2.53125|=0.0078125＜0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值. 探 索 发 现    议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗？   1.二分法的意义 对于在区间[，]上连续不断且满足·＜0的函数，通过不断地把函数的零点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)．   2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：   (1)确定区间，，验证·＜0，给定精确度；   (2)求区间，的中点；   (3)计算： 1若=，则就是函数的零点； 2若·＜0，则令=（此时零点）； 3若·＜0，则令=（此时零点）；   (4)判断是否达到精确度；即若＜ 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．  师：分析条件 “·＜0”、“精确度”、“区间中点”及“＜”的意义．  生：结合求函数 在区间（2，3）内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．   Authorware7.02课件展示               ，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-4．   结论:由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.   思考：为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？          合 作 探 究 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和MicrosoftExcel软件来完成计算. 我们还是以求函数的零点为例                  学生在教师引导下操作  师： 第一步：打开几何画板4.06中文版软件.   第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.  第三步：在弹出的对话框中输入 ，点击“确定”.     几何画板4.06中文版      环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用 合 作 探 究   第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).   几何画板4.06中文版      第五步:打开 MicrosoftExcel软件  第六步:分别在单元格A1、B1、C1输入、、 精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.  MicrosoftExcel软件  环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用    合 作 探 究   第七步:在B2单元格点击“粘贴函数”， 输入函数值公式 “=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值. 第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值. 生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内. 第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值. 生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.MicrosoftExcel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用  合 作 探 究        结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下： 1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间； 2.利用然后用MicrosoftExcel软件逐步计算解答．第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值. 生：观察所得 函数值，并且精确度为 0.0078125＜0.01，所以零点在区间(2.53125，2.5390625)内， =2.53125可以为函数的零点. 生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．MicrosoftExcel软件学 以 致 用    例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度0.1)   解：（略）． 打开几何画板    打开Excel   尝试练习：   1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数     的零点(精确度0.1)   2.借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值(精确度0.01)师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用MicrosoftExcel软件逐步计算解答． 生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．Authorware7.02课件展示   几何画板4.06中文版  MicrosoftExcel软件 知 识 拓 展 我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.（精确到0.01） 程序框图：  师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔．       Authorware7.02课件展示   环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用知 识 拓 展  程序语句： INPUT“，，=”；，， DO =(+)/2 =LOG()+2*－6 =LOG()+2*－6 IF *＞0 THEN =  ELSE   = ENDIF LOOPUNTILABS(-)＜ OR=0 PRINT END打开QBASIC文件     师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性．    QBASIC语言 应用程序 课 后 实 践  1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.   2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．   3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.  师：继续激发学生学习数学的热情；感受数学文化方面的熏陶；充分地利用学校资源进行后续学习和交流.    Authorware7.02课件展示