关于“用二分法求方程的近似解” 的案例研究

关于“用二分法求方程的近似解”的案例研究罗强如果把《普通高中数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）和与之配套的新教材比作一个浩大工程的设计蓝图的话，教师则好比施工人员，教师既要从宏观的角度理解课程改革的基本理念、课程设计思路、课程目标等问题，又要从学科的角度思考诸如数学知识、数学能力、数学素养的培养等一些核心问题，更需要从操作层面把握课程改革中原有内容要求和处理方式的变化，对新增内容的合理性和操作性作相应的思考，因此，当新教材呈现在教师面前时，需要思考和解决的问题也就扑面而来，千头万绪，其中最困扰教师的无非是“新”在何处，“改”在何处，如何“实施”？在实施新课程改革的过程中，学校和教研部门都面临着一项十分紧迫的工作——怎样才能使教师培训工作更有效，使教师与新课程共同成长，教学与新课程共同提高．由于案例研究以及基于案例的教学在教师专业化成长方面的作用已经得到普遍认同，为此我们选择了案例研究的方式切入新课程的研究．2005年初，苏州市教育局教研室组成了一个案例研究小组，研究人员主要包括苏州大学数学科学学院的数学教育学教授，教研人员，重点中学的骨干教师等，以江苏版高中数学课程标准实验教科书第二章“函数概念与基本初等函数I”中的一个课时——“用二分法求方程的近似解”为研究载体，进行了一次案例研究．围绕这个案例，分三个阶段，共有三位老师进行了5次课堂教学实践，本文尝试将本次案例研究的过程和体会进行一个总结，为叙述方便，本文将“用二分法求方程的近似解”简述为“二分法”．一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如：l“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．l“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．l苏教版内容组织的主要形式是“问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式．l《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了顾泠沅先生提出的“以课例为载体的行动教育”模式顾泠沅、王洁．教师在教育行动中成长．《课程教材教法》．2003(1)(2)，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”．我们的具体实施过程如下：（1）第一次设计（同题开课）：请苏州市太仓高级中学的偶伟国老师和苏州市木渎高级中学的庄梅老师分别对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，两位教师分别在两个平行班级开设公开课．请两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题．（2）第一次反思：同行和专家对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见．（3）第二次设计：请偶伟国老师根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案．（4）第二次反思：同行和专家对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见． （5）第三次设计：偶伟国老师再次改进完善教学设计，形成第三轮教案．按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复（见下图1），形成螺旋式上升．原行为阶段关注个人已有经验的教学行为新设计阶段关注新理念的课例设计新行为阶段关注学生获得的行为调整更新理念反思1：寻找自身与他人的差距改善行为反思2：寻找设计与现实的差距课例为载体/教师与研究者的合作平台：理论学习、教学设计、行为反省图1三、教学片段l片段1提出问题第一次设计：1．能否求解方程lgx=3-x?2．能否求出这个方程的近似解？3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？第二次设计：1．能否求解下列方程：(1)lgx=3-x；(2)x2-2x-1=0；(3)x3-3x-1=0．2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1）第三次设计实录：师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x2-2x-1=0；（2）lgx=3-x；（3）x3-3x-1=0．（三个方程逐个出示）yxO-1-22-231图2课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解．师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1）课堂反响：对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是2.4，2.5还是2.6．对于方程（3）学生还是束手无策．yxO-1-22-231图3师：实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解．l片段2探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1））课堂反响：问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利．于是建议学生来相互交流自己研究的进展．生：我画出了f(x)=x2-2x-1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？ 生（思考片刻）：因为f(2)＜0，f(3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？-+23-+22.53-+22.252.53-+22.3752.53-+22.3752.4753图4课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f(2)＜0，f(2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）．师：同学们能否简述上述求方程近似解的过程．生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f(a)f(b)＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解．师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称．生：对分法．师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．l片段3变式探究（第三次教学实录）师：能否用二分法求方程lgx=3-x的近似解（精确到0.1）课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨．生1：我先画了y=lgx和y=3-x的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内．师：有没有同学能帮他解决这个困难．生2：可先把方程转化为lgx+x-3=0，再设f(x)=lgx+x-3，由f(2.5)＜0，f(3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．师：很好，这个方程的形式为g(x)=h(x)，而第二位同学则把它转化为g(x)-h(x)=0，并设f(x)=g(x)-h(x)，从而使问题得以有效解决．解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求解过程，即：根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）02.50（2.5，2.75）f(2.5)02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)02.5625f(2.5625)0，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如f(1)=-20，则；若