新人教A版必修1 高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解 教案

人教版必修一精品教学资料起3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解．一、复习回础,新课引入：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数的零点（即的根）,对于为一次或二次函数,我们有熟知的公式解法（二次时,称为求根公式）．在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式,但对于高于4次的函数,类似的努力却一直没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时,即使对于3次和4次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课题．二、师生互动,新课讲解：1、二分法：上节（P88例1）课我们已经知道,函数在区间（2,3）内有零点,问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．我们知道,函数的图象与直角坐标系中轴交点的横坐标就是方程的解,利用上节课学过的函数零点存在的条件,我们用逐步逼近的方法,来求方程的近似解．（1）在区间（2,3）内,方程有解,取区间（2,3）中点2.5；（2）用计算器计算,因为,所以零点在区间内；（3）再取区间中点2.75,用计算器计算,因为,所以零点在区间内．（4）重复上面的过程,在有限次重复相同步骤后,零点所在区间长度在一定精度控制范围内,零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值．本例中,把取中点和判断零点的过程,用表格列出（课本第89页表3-2）． 当精确度为0.01时,由于,所以,我们可将作为函数零点的近似值,也即方程根的近似值．对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤如下：1）确定区间,验证,给定精确度；2）求区间的中点；3）计算；4）判断：（1）若,则就是函数的零点；（2）若,则令（此时零点）；（3）若,则令（此时零点）．5）判断：区间长度是否达到精确度？即若,则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作,所以可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算．例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．小结：1）结论：图象在闭区间,上连续的单调函数,在,上至多有一个零点．2）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点．3）用二分法求函数的变号零点二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解 设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10,∴在区间(2,3)内,方程x2－2x－1＝0有一解,记为x0. 取2与3的平均数2.5,∵f(2.5)＝0.25>0,∴2