第四章,4.5.2,用二分法求方程近似解

第四章,4.5.2,用二分法求方程近似解 4．5.2 用二分法求方程的近似解学习目标1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 知识点一二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考1若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？答案二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．思考2二分法的解题原理是什么？答案函数零点存在定理．知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．(2)若f(a)f(c)0(此时x0(a，c))，则令b＝c.(3)若f(c)f(b)0(此时x0(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度：若|a－b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．()2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．()3．用二分法最后一定能求出函数零点．()4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．() 一、二分法概念的理解例1(1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( ) 答案ABC解析根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．答案(1,2)解析设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－70，f(3)＝100，f(2)＝30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3答案D解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.二、用二分法求方程的近似解 例2用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b)中点cf(a)f(b) fèæøöa＋b2(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0 由于|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，nZ.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．跟踪训练2求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．解确定一个包含负数零点的区间(m，n)，且f(m)f(n)0.因为f(－1)0，f(－2)0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下： 端点(中点)端点或中点的函数值取值区间 f(－1)0，f(－2)0(－2，－1)x0＝－1－22＝－1.5f(x0)＝4.3750(－2，－1.5)x1＝－1.5－22＝－1.75f(x1)2.2030(－2，－1.75) x2＝－1.75－22＝－1.875f(x2)0.7360(－2，－1.875)x3＝－1.875－22＝－1.9375f(x3)－0.09740(－1.9375，－1.875)x4＝－1.875－1.93752＝－1.90625f(x4)0.32800(－1.9375，－1.90625)x5＝－1.9375－1.906252＝－1.921875f(x 5)0.11740(－1.9375，－1.921875)x6＝－1.9375－1.9218752＝－1.9296875f(x6)0.01050(－1.9375，－1.9296875) 由于|－1.9296875＋1.9375|＝0.00781250.01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1.9296875. 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( ) 答案A2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝èæøö12x－x答案D解析A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案A解析f(－2)f(－1)＝－120，所以可以取的初始区间是(－2，－1)．4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)0，f(0.5)0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )A．1  B．－1 C．0.25 D．0.75答案C 解析x1＝0＋0.52＝0.25.5．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)f(2)0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.答案－1.625解析由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625. 1．知识清单： (1)二分法的定义．(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．2．方法归纳：化归、逼近．3．常见误区： 二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点． 1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( ) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 答案C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．2．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0 在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的根落在区间( )A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)答案C解析因为f(2.5)0，f(2.75)0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)．3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A．|a－b|0.1 B．|a－b|0.001C．|a－b|0.001 D．|a－b|＝0.001答案B 解析据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度时，便可结束计算．4．(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为( )A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6答案ABC解析已知f(0.64)0，f(0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝12(0.64＋0.72)，且f(0.68)0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，|0.72－0.68|＝0.040.05，所以0.68,0.7,0.72 都符合．5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25答案C解析∵f(1.4065)0，f(1.438)0，f(1.4065)f(1.438)0，该方程的根在区间(1.4065,1.438)内，又∵|1.4065－1.438|＝0.03150.05，方程的近似根可以是1.438.6．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)0；③f(a)f(b)0；④f(a)f(b)0.答案①②解析由二分法适用条件直接可得．7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．答案(2,3)解析设函数f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－10，f(3)＝160，f(4)＝510，下一个有根区间是(2,3)．  8．用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.答案4解析开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为12n，故有12n0.1，即2n10，则n4，所以至少需要操作4次．9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)解f(0)＝－10，f(1)＝10，即f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(－，＋)上是增函数，f(x)只有一个零点x0(0,1)．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.750，f(0.5)f(1)0，即x0(0.5,1)．取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156250，f(0.75)f(1)0，即x0(0.75,1)．取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)0.340.f(0.75)f(0.875)0，即x0(0.75,0.875)．取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.8125，f(0.8125)0.0730.f(0.75)f(0.8125)0，即x0(0.75,0.8125)，而|0.8125－0.75|0.1.f(x)的零点的近似值可取为0.75.10．已知函数f(x)＝3x＋x－2x＋1在(－1，＋)上单调递增，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01)．解由于函数f(x)＝3x＋x－2x＋1在(－1，＋)上单调递增，故在(0，＋)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个．因为f(0)＝－10，f(1)＝ 520，所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间中点值中点函数近似值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.25－0.084 (0.25,0.5)0.3750.328(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021(0.25,0.28125)0.265625－0.032(0.265625,0.28125)0.2734375－0.00543(0.2734375,0.28125) 因为|0.2734375－0.28125|＝0.00781250.01，所以方程的根的近似值为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375. 11．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)f(b)0，f(a)fèæøöa＋b20，则( )A．f(x)在ëéûùa，a＋b2上有零点B．f(x)在ëéûùa＋b2，b上有零点C．f(x)在ëéûùa，a＋b2上无零点D．f(x)在ëéûùa＋b2，b上无零点答案B解析由f(a)f(b)0，f(a)f èæøöa＋b20可知f èæøöa＋b2f(b)0，根据函数零点存在定理可知f(x)在ëéûùa＋b2，b上有零点． 12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|(为精确度)时，函数零点的近似值x0＝a＋b2与真实零点的误差的取值范围为( )A.ëéøö0，4 B.ëéøö0，2 C．[0，) D．[0,2)答案B解析真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－a＋b2＝a＋b2－a＝b－a22，所以误差的取值范围为ëéøö0，2.13．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________． 答案a2＝4b解析∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象的顶点在x轴上，＝a2－4b＝0，a2＝4b.14．某同学在借助计算器求"方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)'时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用"二分法'又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4个值依次是______________．答案1.5,1.75,1.875,1.8125解析第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)． 15．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918－0.3604－0.9989 则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A．1.125 B．1.3125C．1.4375 D．1.46875答案B解析因为f(1.25)f(1.375)0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.1250.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1，因此1.3125是一个近似解．16．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？解将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6 枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．