3.1.2用二分法求方程的近似解一、内容及其解析（一）内容：用二分法求方程的近似解的基本思路和步骤．（二）解析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》第三章第一单元第二节----用二分法求方程的近似解。“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性定理”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想（极限思想），体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”的辩证唯物主义观点。引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。二、目标及其解析（一）目标1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。 2、借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备． 3、通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。4、通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。（二）解析1、通过具体的事例让学生认识到一些复杂的方程，如超越方程用传统的方法难以求解，只能近似猜想根的取值范围，从而引出通过“取中点”缩小零点所在范围的方法，即“二分法”。2、在具体介绍二分法时，让学生利用计算器或计算机边操作边认识，这样可使学生更深刻地理解二分法的思想。3、通过分组合作、互动探究、相互交流的方式，指导学生学习。4、向学生阐明：二分法是一种近似的算法，虽然并一定能得到精确值，但可以根据实际问题的需要选择适当的精度。三、问题诊断分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程的根与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程的根与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊、计算器的使用不够熟练，另外，在二分法中步骤3的（2）与（3）中，由于学生还没有算法的基本思想，是难以理解的。这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
要克服这些困难，关键是要指导学生正确操作，通过实际操作得到具体的认识后，进行细致讨论并认真体会，教师也要给予适当的指导。四、教学过程设计（一）教学基本流程1、创设情境（1）游戏：假设“幸运52”现场，让学生猜某一商品价格。（2）实际问题：从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，你能找一个简便易行的方法吗？一般至少需要检查接点的个数为几个？设计意图：（1）从游戏引入能充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲；（2）游戏和实例是为引入二分法的原理做准备，也说明二分法原理源于现实生活，并作用与现实生活。师生活动：（1）教师找两名学生猜价格。（2）教师鼓励学生探究、交流，体会解决问题的思想和方法。（3）教师引入现实生活中的二分法的定义，指出其适用范围。2、新课导入问题1：求下列方程的解：问题2.能否求出上述方程的近似解？设计意图：问题的提出，进一步激发学生利用二分法探究问题的热情。师生活动：学生先在练习本上求解方程，发现问题，教师指出：简单方程可以通过变形或套公式解求精确解，大多数复杂方程不易求精确解，引出问题2的探究。3、探究发现问题3、如何选取函数零点大致所在的区间？问题4、如何进一步缩小零点所在的区间？问题5、分到何时才能满足精确度要求？问题6、能否给出二分法求方程近似解的一般步骤？注意：第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，通常可确定一个长度为1的区间；列表样式如下：次数取a取b|a-b|12.5-0.0842.530.522.750.5122.52.750.2532.6250.2152.52.6250.12542.56250.0662.52.56250.063如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精确度时，即为计算的最后一步。
设计意图：（1）以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解。（2）学生在讨论、合作中解决问题。充分体会成功的愉悦。（3）让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法。师生活动：教师引导，学生合作探究：（1）解决问题3、4：师生共同选择初始区间，教师利用数轴演示二分法的过程。（2）解决问题5：学生讨论精确度与区间长度的关系。（3）解决问题6：学生归纳二分法解题的一般步骤，教师做最后总结及强调。（4）教师给出规范解题格式，用表格演示用二分法逐次计算的结果。练习巩固1.(多项选择)下列函数的图象中,其中不能用二分法求其零点的是()xy0xy0xy0xy0ABCD问题7:根据练习1，请思考利用二分法求方程近似解的条件是什么？2.利用计算器，求方程2x+3x-7=0的近似解（精确到0.1）.设计意图：（1）鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习。（2）让学生进行模仿练习，能及时的巩固所学知识与方法。（3）利用几何画板的动态显示有利于学生直观观察，使学生更深入的理解二分法的实质。。师生活动：（1）学生做完练习1后，教师提出问题7，引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围;（2）学生做练习2：要求同位配合，一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，尽快求解;（3）教师利用“几何画板”引导学生讨论、评析形成结论。归纳小结1.二分法：这是一种求一元方程的近似解的常用方法。2.二分法求方程的近似解的步骤：体现了程序化的思想即算法思想。配餐作业完成学案上的配餐作业设计意图：（1）让学生巩固所学内容，进一步提高对数学通性通法的学习与研究的认识;（2）进一步体会算法思想。师生活动：学生做在作业本上和学案上,教师批改，适时适量讲评。
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