高考数学复习点拨 用二分法求方程的近似解例析

用二分法求方程的近似解例析二分法的解题原理是利用前面的中间值定理，是一种求方程根近似值的具体方法．下面举例说明二分法的解题思路．例1证明方程x－3x＋1=0在区间(1，2)内必有一根，并求出这个根的近似值(精确到0.01)．解：令=x－3x＋1，则在区间[1，2]上的图象是一条连续不断的曲线．∵=1－3＋1=－1＜0，=8－6＋1=3＞0，∴·＜0，∴函数在区间(1，2)内必有一零点，∴方程x－3x＋1=0在区间(1，2)内必有一根x．取区间(1，2)的中点x=1.5，用计算器算得=－0.125．因为·＜0，所以x(1.5，2)．再取(1.5，2)的中点x=1.75，用计算器算得=1.109375．因为·＜0，所以x(1.5，1.75)．又取(1.5，1.75)的中点x=1.625，用计算器算得=0.416015625．因为·＜0，所以x(1.5，1.625)．取(1.5，1.625)的中点x=1.5625，用计算器算得=0.127197265625．因为·＜0，所以x(1.5，1.5625)．取(1.5，1.5625)的中点x=1.53125时，用计算器算得=－0.003387451171875．因为·＜0，所x(1.53125，1.5625)． 取(1.53125，1.5625)的中点x=1.546875时，用计算器算得=0.060771942138671875．因为·＜0，所x(1.53125，1.546875)．同理，可算得·＜0，x(1.53125，1.5390625)；·＜0，x(1.53125，1.53515625)；又当取(1.53125，1.53515625)的中点x=1.53325时，·＜0，即x(1.53125，1.53325)．由于|1.53125－1.53325|=0.001953125＜0.01，此时区间(1.53125，1.53325)的两个端点精确到0.01的近似值都是1.53，所以原方程精确到0.01的近似解为1.53．说明一：虽然|1.53125－1.5390625|=0.0078125＜0.01，但是，在区间(1.53125，1.5390625)的两个端点精确到0.01的近似值是两个，即1.53和1.54，与一个近似根不符．因此，类似于此种情况要一边分析探索，一边求解讨论，直到求出符合题意的唯一解为止．说明二：为能够将零点所在的范围尽量缩小，在一定的精度下，还可以采用逐步分割含根区间使成许多小区间，并以次确定的分点处的符号，即可以任意地缩小含根区间而实现根的近似计算．还以此例说明如下：将[1，2]分成10等份，各分点为1.1；1.2；1.3；…；1.9，并逐个计算：=－0.969；=－0.872；=－0.703，=－0.456；=－0.125；=0.296．由·＜0，可知方程的根位于(1.5，1.6)内．再将[1.5，1.6]分成10等份，求出：=－0.87049；=－0.048192；=－0.008423； =0.52264．由于·＜0，所以方程的根位于(1.53，1.54)内，取x=1.53，其精确度已达0.01．显然，此种分割法与二分法其解题原理完全相同，只不过划分区间有所差异．例2借助计算器求方程0.8－1=lnx的近似解(精确到0.01)．xyO1y=0.8－1y=lnx解：令y=0.8－1，y=lnx，画出两个函数的图象，从图象中可以找到，方程0.8－1=lnx在区间(0，1)内必有一根x．设=0.8－1－lnx，由于没有意义，且=0.5876＞0，=－0.2＜0，∴·＜0，∴方程0.8－1=lnx在区间(0.5，1)内必有一根x．取区间(0.5，1)的中点x=0.75，用计算器算得=0.1336＞0，因为·＜0，所以x(0.75，1)．再取(0.75，1)的中点x=0.875，用计算器算得=－0.0438＜0，因为·＜0，所以x(0.75，0.875)．又取(0.75，0.875)的中点x=0.8125，用计算器算得=0.0418＞0，因为·＜0，所以x(0.8125，0.875)．取(0.8125，0.875)的中点x=0.84375，用计算器算得=－0.0017＜0，因为·＜0，所以x(0.8125，0.84375)． 取(0.8125，0.84375)的中点x=0.828125时，用计算器算得=0.0199＞0，因为·＜0，所以x(0.828125，0.84375)．取(0.828125，0.84375)的中点x=0.8359375时，用计算器算得=0.009＞0，因为·＜0，所x(0.8359375，0.84375)．由于|0.84375－0.8359375|=0.0078125＜0.01，此时区间(0.8359375，0.84375)的两个端点精确到0.01的近似值都是0.84，所以原方程精确到0.01的近似解为0.84．说明：二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．