高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解 同步讲练

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解精讲部分学习目标展示1．会用二分法求方程的近似解；2．理解二分法原理衔接性知识1.判断函数在是否有零点2.如何求函数的有零点基础知识工具箱定义符号区间的中点一般地，我们把称为区间的中点.注意：区间的中点是个数，而不是点的中点为二分法于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．精确度近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设为准确值，为的一个近似值，若，则是精确度为的的一个近似值，精确度简称精度。用二分法求零点的步聚（1）确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度；（2）求区间(a，b)的中点c；（3）计算f(c)：①若f(c)=0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))（4）判断是否达到精确度：即若|a–b|＜，则得到零点近似值a(或b)；否则重复2~4变号零点与不变号零点若函数的图象在处与轴相切，则零点称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点称为变号零点．二分法的适用条件①在上的图象连续不断②在上有变号零点.区间等分若将区间等分次后，得到的零点区间满足要求的精确度，则有.典例精讲剖析例1.用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为（  ）次A．5B．6C．7D．86 解析：开区间的长度等于，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为∵用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01，∴，，，且故所需二分区间次数最少为7次,选C例2.判断方程在区间内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．[解析] 设函数，因为，，且函数的图象是连续的曲线，所以方程在区间[1,1.5]内有实数解．取区间的中点，用计算器可算得.因为，所以．再取的中点，用计算器可算得.因为，所以．同理，可得，．由于，此时区间的两个端点精确到的近似值是，所以方程在区间精确到的近似解约为.例3.当时，函数存在零点，求实数的取值范围．[解析] ∵，∴，∵函数在内存在零点，且此函数是单调的，∴，即，解得，∴实数的取值范围是例4.确定函数的零点个数[解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数与的图象，可见两函数图象有且仅有一个交点，故函数有且仅有一个零点．6 解法二：∵，∴在内有零点，又为增函数，∴有且只有一个零点．精练部分A类试题（普通班用）1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(  )[答案] B2.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是(  )A．B．C．D．A 解析：，∴初始区间可为．3．下列函数中在区间]上有零点的是(  )A．B．C．D．[答案] D[解析] 对于函数来说∴，在区间]上有零点，故选D.4.用二分法求的近似解，，，下一个求，则_______5.确定函数的零点个数．[解析] 作出函数与的图象，则的零点个数即两图象的交点个数，由图可知，两图象在区间内有一个交点，当时，，；当时，，，6 ∴在内两曲线又有一个交点，∴两曲线只有两个交点，即函数有两个零点．B类试题（3+3+4）（尖子班用）1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(  )[答案] B2.用二分法求函数的零点可以取的初始区间是(  )A．B．C．D．A 解析：，∴初始区间可为．3．下列函数中在区间]上有零点的是(  )A．B．C．D．[答案] D[解析] 对于函数来说∴，在区间]上有零点，故选D.4．若函数的图象是连续不断的，且，，则下列命题正确的是(  )A．函数在区间内有零点B．函数在区间内有零点C．函数在区间内有零点D．在区间内有零点[答案] D[解析]，或当时，在区间内有零点，所以在区间内有零点；6 当时，或若，则，在区间内有零点，所以在区间内有零点；若，则，所以在区间内有零点。综上所述选D5.用二分法求的近似解，，，下一个求，则________.[答案] 1.43756.用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.55625)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．[答案] 1.5625 解析：由参考数据知，，，即，且，∴的一个零点的近似值可取为7.已知连续不断的函数在区间有唯一零点，若用“二分法”求该零点（精确度）的近似值，那么将区间等分的次数至少是________次【解析】设第次等分后零点所在的区间为，其长度为…………①令，得，，，且故将区间等分的次数至少是10次【答案】106 注释：①8．若函数有零点，求实数的取值范围．[解析] ∵有零点，∴有解．∴有解．当时，.当时，若有解，则，即，解得且.综上所述，实数的取值范围9．确定函数的零点个数．[解析] 作出函数与的图象，则的零点个数即两图象的交点个数，由图可知，两图象在区间内有一个交点，当时，，；当时，，，∴在内两曲线又有一个交点，∴两曲线只有两个交点，即函数有两个零点．10．已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求求实数m的取值范围[解析]∵，∴(1)当时必成立(2)当时，要使与轴交点至少有一个在原点右侧，则 ∴.(3)当时，根为，的图象与x轴的交点有一个在原点右侧。综上所述，求实数m的取值范围为6