中学数学研究-上060800关于“用二分法求方程的近似解”的案例研究

资料编号8740二分法罗强发表在上060800上属于教法、辅导、教材题为《关于“用二分法求方程的近似解”的案例研究》2005年秋开始,高中新课程改革已在江苏省全面启动，置身课程改革的浪潮,教师既要从宏观的角度理解课程改革的基本理念、课程设计思路、课程目标等问题，又要从学科的角度思考诸如数学知识、数学能力、数学素养的培养等一些核心问题，更需要从操作层面把握课程改革中原有内容要求和处理方式的变化，对新增内容的合理性和操作性作相应的思考.因此，当新教材呈现在教师面前时,需要思考和解决的问题也就扑面而来.千头万绪，其中最困扰教师的无非是“新”在何处，“改”在何处，如何“实施”？在实施新课程改革的过程中，学校和教研部门都面临着一项十分紧迫的工作_怎样才能使教师培训工作更有效，使教师与新课程共同成长,教学与新课程共同提高.由于案例研究以及基于案例的教学在教师专业化成长方面的作用已经得到普遍认同，为此我们选择了案例研究的方式切入新课程的研究.2005年初，苏州市教育局教研室组成了一个案例研究小组，研究人员主要包括苏州大学数学科学学院的数学教育学教授、教研人员、重点中学的骨干教师等，我们以江苏版高中数学课程标准实验教科书第二章“函数概念与基本初等函数I”中的“用‘二分法’求方程的近似解”（下文简述为“二分法”）为研究载体，进行了一次案例研究.围绕这个案例，分三个阶段，共有三位老师进行了5次课堂教学实践，本文尝试将本次案例研究的过程和体会进行一个总结.一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的,因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题.例如：*“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的,所体现的算法思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究.*“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究.*苏教版内容组织的主要形式是“问题情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学运用——回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式.*《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，又要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习.在“二分法”教学中能否改善学生的学习方式.二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了顾泠沅先生提出的“以课例为载体的行动教育”模式[1],整个研究过程的要素是:以课例为载体，通过同伴互助,专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，简述为“一个课例，两次反思，三次设计我们的具体实施过程如下：(1)第一次设计(同题开课):请苏州市太仓高级中学的偶老师及木渎高级中学的庄老师分别对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，两位教师分别在两个平行班级开设公开课.(2)第一次反思:同行和专家对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题,然后通过讨论、反思，提出改进意见.(3)第二次设计:请偶老师根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案.(4)第二次反思:同行和专家对偶老师的第二次课进行集中评议,从更深层次反思教学设计与 师:同学们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用Excel作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器.实际上，如果我们将步长取得足够小，从Excel表的列B中，我们可以直接得出近似解，当然,这种方法的背后是电脑要进行大量的计算.四、案例所触及的几个焦点问题1.关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼(M.Polanyi)提出:“我们所知道的多于我们言传的.”据此,他提出人类大脑中的知识分为两类:明确知识(explicitknowledge)和默会知识(tacitknow-ledge).前者可以言传，后者却不能言传,不能系统表达.明确知识存在于书本之中，它可编码(逻辑性)、可传递(共享性)、可反思(批判性).它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而默会知识存在于个人经验之中（个体性),镶嵌于实践活动之中(情境性)，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟性.如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而默会知识则是其水下部分.张奠宙先生曾经说过:“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的默会知识.教学中,基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握,教学的成效也易于达成;而基于默会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握,教学的成效往往也是隐性和难以达成的.在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度.如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式.在案例研究的过程中，我们觉得《课程标准》增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标,苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标 揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中渗透并达成，因此,最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展.从第三次教学的实录片断中，我们可以看到,本节课以问题解决为基本策略，将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的过程中,采用了先破后立的方式，使默会知识镶嵌于教学流程的背后,又构成了一条暗线(图5).在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的.例如，第二个环节“简单方程入手,寻找一般规律”,在第一次教学过程中，偶老师用《几何画板》作出了函数图象，由于《几何画板》作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解,这就为后续的教学带来了干扰.在后二次的教学中，偶老师就要求学生用纸笔作图，使学生打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法.在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的.2.新教材为什么要在高一讲“二分法”？“二分法”有什么优点和缺点？首先，“二分法”简便且应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解,这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具.其次，它体现现代而又根植传统、算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法,将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性(定理)”.再次,“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学道近的过程.“二分法”虽然简单,但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体局部”、“定性y定量”、“精确—近似”、“计算—技术”、“技法算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值.利用“二分法”求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间(要用到此区间的两端点)，为此，有时需要初步了解函数的性质或形态;其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志,即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时(两端点的近似值相同)，运算终止.“二分法”的优点在于思想方法简单,所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快(得到符合条件的近似解的速度快)，误差比较小，是同类算法中效率最高的[2].其缺点在于:无法用其求出方程偶次重根的近似解.因此，类似于图6的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点.3.“二分法”教学中应怎样逐步渗透算法思想在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法 渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标,其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的.例如，在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数y形'这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形y数”，其中的形包括“图象数轴_^表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程(见图7).在这样一个数形转化且逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握,从而能够比较顺利地自主归纳出用“二分法”求方程近似解的基本步骤(见片断5).4.教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系西南师范大学张大均教授在《教学心理学》中指出:在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生;学生是发展性主体,其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动.双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系.在教学过程中,师生双方主体作用的发挥应该各有侧重,其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向.在本节课的教学中,如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向.本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系.授课教师精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时(见图5、图7),学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的和谐统一，是一种有意义的接受式学习.同时,教师在教学流程的局部放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究.例如，本节课教师鼓励学生自行尝试解决问题，大量运用实物投影仪展示学生的研究成果(见片段3);学生自己概括提炼出“二分法”的基本步骤(见片段4);教师在Excel中现场操作，即时生成函数图象(见片段5)等.这种自主“生成”的学习是一种有意义的发现式学习，在这样的学习过程中,学生充分体验到解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习的乐趣.在第一次同题开课的过程中，两位老师对课题名称出现的时机采用了不同的处理，庄老师采用了“开门见山”式的“课题先行”的方式，在教学的起始阶段就点明了本节课要学习的课题是“用‘二分法’求方程的近似解”，使学生产生了一种“且听分解”的欲望.偶老师采用了“曲径通幽”式的“问题先行’的方式,课题名称是在学生自主概括“二分法”名称之后生成的，不是预知的.比较两种处理的教学效果，我们认为，学生自主概括“二分法”名称的过程中是对“二分法”本质概括的过程，是一种有效的数学思维的训练.而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程.当然，偶老师的三次教学都是借班授课，学生事先并不了解学习的内容，因此采用“问题先行”的方式比较自然,效果也比较好.在实际教学中，学生手中有了教材，往往会根据教学进度自主预习，这就会给教师的教学带来一定的干扰.五、案例研究的价值从本次“二分法”案例的研究过程中，我们充分感受到了案例研究的巨大价值,它既是教师研究新课程的一个重要载体,又是深化课堂教学改革的一个突破口，也是教师专业化成长的一个极好的平台.我们认为，在新课程推进的过程中,课堂教学改革是新课程改革的落脚点和支撑点,如果教师的课堂教学行为不改变，课改成功就是一句空话.我们希望案例研究能成为基层学校教学研究的一种主要方式,教师迫切 需要这种能依托新教材并直接切入到课堂教学的新课程培训，需要这种聚焦课堂的教学研修和专业引领.参考文献：⑴顾泠沅、王洁.教师在教育行动中成长.课程教材教法.2003(1)(2).[2]卢钦和.方程近似解、二分法及其它.中学数学月刊.2005(9)(10).