3.1.2 用二分法求方程的近似解问题导学一、用二分法求函数零点的近似值活动与探究1求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．迁移与应用1．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)＝0.200[f(1.5875)＝0.133f(1.5750)＝0.067f(1.5625)＝0.003f(1.55625)＝－0.029f(1.5500)＝－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．2．用二分法求方程f(x)＝0在[1,2]上的近似解时，经计算f(1.6875)＜0，f(1.71875)＞0，可得出方程的一个近似解为__________．(精确度0.1)3．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．(1)用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小，其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．(2)求方程f(x)＝0的近似解，可转化为求函数f(x)的零点，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．二、二分法的综合应用活动与探究2求的近似值．(精确度0.01)迁移与应用求的近似值(精确度0.1)．用二分法求一些无理数的近似值时，首先要将其转化为方程的解或函数的零点问题，再按求函数零点或方程解的方法求解．三、二分法的实际应用活动与探究3某县A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？迁移与应用一物品的价格在0～100之间，如果让我们猜该物品的价格，最多猜多少次就可使误差小于2元？二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用．方法是：每次取问题所在范围的中点，使范围减半，以达到快速解决问题的目的．当堂检测1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]3．用二分法求方程x2＝x－2的近似解时，所取的初始区间可以是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260[f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．5．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学【预习导引】1．连续不断 f(a)·f(b)＜0 一分为二 逐步逼近零点预习交流1 提示：不能．一个函数能用二分法求其零点需满足两个条件：一是函数图象在零点附近是连续不断的，二是该零点左右的函数值异号．2．(1)f(a)·f(b)＜0 (3)①c就是函数的零点 ②(a，c) ③(c，b)预习交流2 (1)提示：根据方程f(x)＝0的解与函数y＝f(x)的零点的关系，求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)的近似零点．所以可以按求函数y＝f(x)的近似零点的步骤来求方程f(x)＝0的近似解．(2)提示：精确度ε是指零点所在区间[a，b]满足|a－b|＜ε，并不是零点近似值精确到ε.课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可考虑首先确定一个包含正数零点的区间，如f(0)＝－6＜0，f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间(当然[0,2]也可以)，然后用二分法求零点．解：由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值[1,2]1.5－2.625[1.5,2]1.750.2344[1.5,1.75]1.625－1.3027[1.625,1.75]1.6875－0.5618[1.6875,1.75]1.71875－0.1707由上表计算可知，区间[1.6875,1.75]的长度为1.75－1.6875＝0.0625＜0.1，所以可将1.6875作为函数零点的近似值．迁移与应用 1．1.5625 解析：由参考数据知，f(1.5625)＝0.003＞0，f(1.55625)＝－0.029＜0，即f(1.5625)·f(1.55625)＜0，且1.5625－1.55625＝0.00
625＜0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.2．1.68753．解：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f()(1,1.5)1.25[f(1)＜0f(1.5)＞0f(1.25)＜0(1,25,1.5)1.375f(1.25)＜0f(1.5)＞0f(1.375)＞0(1.25,1.375)1.3125f(1.25)＜0f(1.375)＞0f(1.3125)＜0(1.3125,1.375)1.34375f(1.3125)＜0f(1.375)＞0f(1.34375)＞0(1.3125,1.34375)1.328125f(1.3125)＜0f(1.34375)＞0f(1.328125)＞0(1.3125,1.328125)1.3203125f(1.3125)＜0f(1.328125)＞0f(1.3203125)＜0因为|1.328125－1.3203125|＝0.0078125＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328125.活动与探究2 思路分析：可以看作是方程x3＝2的解，故可用二分法求出方程的近似解，即求函数f(x)＝x3－2的零点，即为的近似值．解：设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点：由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：区间中点值中点函数近似值(1,2)1.51.375(1,1.5)1.25－0.0469(1.25,1.5)1.3750.5996(1.25,1.375)1.31250.2610(1.25,1.3125)1.281250.1033(1.25,1.28125)1.2656250.0273(1.25,1.265625)1.2578125－0.01(1.2578125,1.265625)∵1.265625－1.2578125＝0.0078125＜0.01，∴函数f(x)＝x3－2的近似零点为1.2578125，即的近似值为1.2578125.迁移与应用 解：设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625.因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25.活动与探究3 思路分析：可以利用二分法的思想查出故障所在．解：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段，再到BD段的中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100m之间，即可较快找到故障所在．迁移与应用 解：第一次取中点，误差最大为50；第二次再取物品价格所在区间的中点，误差最大为25；第三次取中点，误差最大为12.5；第四次取中点，误差最大为6.25，第五次取中点，误差最大为3.125，第六次取中点，误差最大为1.6，满足要求．所以最多猜六次即可达到要求．【当堂检测】1．A2．A 解析：∵f(－2)＝－8＋5＝－3＜0，f(1)＝1＋5＝6＞0，∴初始区间可为[－2,1]．3．B 解析：设f(x)＝x2－x－2，则f(0)＝－4＜0，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝4－1＝3＞0，f(3)＝＞0，f(4)＝＞0，∴f(x)在(1,2)内有零点，即方程x2＝x－2的解在(1,2)内．4．1.43755．6 解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.
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