3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型二 我们知道，对数函数ylogax （a1），指xyxn （n0）数函数ya （a1）与幂函数在区间（0,）上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？x2下面，我们不妨先以y2,yx,ylog2x函数为例进行探究。 利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表3-5），并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。 表3-5x0.20.611.41.82.22.633.4xy21.1491.51622.6393.4824.5956.063810.5562yx0.040.3611.963.244.846.76911.56图3.2-4y=2^xy2018y=x^216141210以2为底8的对数学64函数20x-21234567891011-4 xyx2下面我们在更大的范围内，观察y2和的增长情况x0246810121416xy21416642561024409616384655362yx04163664100144196256x2y2yx从图可以看到，和的图象有两个交点，x2这表明与2在自变量不同的区间有不同的大小关系，xx2x2有时2，有时x。2x 但是,当自变量x要越来越大时，可以看到，xxy2的图象就像与x轴垂直一样，2的值快速增长，2x比起x来，几乎有些微不足道，如2图3.2-6和表3-7所示。x01020304050607080xy2110241.E+061.E+091.E+121.E+151.E+181.E+211.E+242yx010040090016002500360049006400 探究2你能借助图象，对yx和ylog2x的增长情况进行比较吗？ x2logx2x2请在图象上分别标出使不等式2xlogxx22x(0,2)(4,)成立的自变量x的取值范围x(2,4) 结论x一般地，对于指数函数ya （a1）和幂函n数yx （n0），通过探索可以发现，在区间（0,）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，xnxxna会小于x，由于a的增长快于的增长，因此总存在一xn个x0，当xx0时，就会有ax。 同样地，对于对数函数ylogx （a1）和幂函a数yxn （n0）,在区间（0,）上，随着x的增大，logxa增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，xlogn尽管在的一定变化范围内，ax可能会大于x，logxn但由于a的增长慢于x的增长，因此总存在一xxxn个0，当0时，就会有logax。x 综上所述，在区间（0,）上，尽管函数xnylogx （a1）、ya（a1）yx （n和1）a都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上xx。随着的增大y，a （a1）的增长速度越来越快，会n超过并远远大于yx （n1）的增长速度，而ylogax （a1）的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x，当xx0时，就有0nxlogxxa。a 探究你能用同样的方法，讨论一下函数：xnya （0a1）、yx （n0）、ylogax （0a1）在区间（0,）上的衰减情况吗？ 练习P119在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：x（1） y0.1e100,x[0,] ；（2）y20lnx100,x[0,] ；（3）y20x,x[1,10] 。