高中数学人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 精品课件

§3.2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型 学习目标1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 课堂互动讲练知能优化训练3．2.1课前自主学案 课前自主学案温故夯基1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，当_____时，在R上为增函数；对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，当____时，在(0，＋∞)上为增函数；幂函数y＝xα，当____时，在(0，＋∞)上为增函数．2．函数y＝2x的图象和函数y＝x2的图象有___个交点，当x∈_________时，2x>x2恒成立．3．函数y＝2x和函数y＝x2的图象都位于函数y＝log2x图象的___方．a>1a>1α>0(4，＋∞)上三 知新益能三种函数增长速度的对比(1)对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定变化范围内，ax会_____xn，但由于ax的增长_____xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有_______；(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会______xn，但由于logax的增长______xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有_________；小于快于ax＞xn大于慢于logax＜xn (3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是___函数，但它们的增长速度______，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有_____________.增不同logax＜xn＜ax 问题探究函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上具有相同的增长速度吗？提示：增长速度不同．如图所示，在(0,2)之间y＝x2的增长速度较快，在(2,4)之间函数值均从4增大到16，而x＝4之后，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度． 课堂互动讲练考点突破考点一一次函数模型的应用在变化过程中，变量满足的是直线型的关系可转化为一次函数解决．在2011年春节期间某市移动公司推出了“学生卡”与“老人卡”的使用，在该市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．例1 (1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．【思路点拨】解答本题可先用待定系数法求出解析式，再比较函数值的大小． 【名师点拨】本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得函数解析式．然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，此时，读懂图象是关键． 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．考点二指数函数模型的应用 截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．【思路点拨】解答本题先根据增长率的意义，列出y与x的函数关系式，然后再求解相应问题．例2 【解】(1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿).经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿).经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿).…∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x. (2)理论上指数函数定义域为R.∵此问题以年作为时间单位．∴{x|x∈N*}是此函数的定义域．(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.∵1＋1%＞1,13.56＞0，∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，即只要增长率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．【名师点拨】本题易把定义域认为是R，错因是忽视了自变量的实际意义． 自我挑战某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)?(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210) 解：(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3；…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)．即所求解析式为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)． (2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16.因此，大约16年以后该城市人口总数将达到120万人． 一般地，求经过几年的增长率问题，可以转化为幂函数的应用．某农药厂今年生产农药8000吨，计划5年后把产量提高到14000吨，求平均每年的增长率．(lg1.75＝0.2430)【思路点拨】由问题得幂函数模型，对幂函数进行求解．考点三幂函数模型的应用例3 【名师点拨】本题是相当于已知幂函数值求底数的大小，利用两边取“对数”运算． 方法感悟方法技巧根据实际问题提供的两个变量的数量关系要构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型．主要有一次函数模型，二次函数模型，反比例函数模型，分段函数模型，指数函数模型，对数函数模型，幂函数模型． 失误防范1．建立函数关系时，注意自变量的实际意义．2．要注意数学问题与实际问题间的正确转化．