几类不同增长的函数模型邹长孙

函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型(1) 在一个月内（按30天计算），我每天给你10万元钱，你第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍，这样互相给钱你愿意吗？为什么？材料：比一比聪明 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数等等对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？ 例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题. 分析我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*) 思考投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。(3)三个函数模型的增减性如何？ 计算三种方案所得日回报的增长情况：x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678…30………………4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。 12346578910200406080100120140yx方案一:y=4012345678910…40404040404040404040…x方案二y=10x12345678910…102030405060708090100…xy=0.4*2x-112345678910…0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8y=40y=10xy=0.4×2x-1x…利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多；每5~8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多.有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？ 下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。天数回报/元方案一二三401234567891011801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8 指数型函数一次函数常数函数从上述情景中,我们可以体会到,不同的函数增长模型,增长变化存在很大的差异.2.我们可通过等手段来研究这几种函数模型的增长差异性.图、表情景一小结：保持不变直线上升匀速增长急剧增长指数爆炸没有增长 实际应用问题分析、联想、抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原（设）（列）（解）（答）★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程，建立函数模型的程序如下： 一次函数，对数型函数，指数函数。①例2涉及了哪几类函数模型？②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?例2你又经过几年的努力,拥有了自己的公司.为了实现1000万元利润的目标,你准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？例2有条件函数模型的选择： ①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金y可用不等式表示为______________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，所以奖金y可用不等式表示为__________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x类型2有条件函数模型的选择：即，只需在区间[10，1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可. 下面列表计算确认上述判断：y7综上所述:模型确实符合公司要求.1log+=xyxo102.51.022.1851.042.54………4.954.445.044.442………4.55模型奖金/万元利润10208008101000…… 思考：在此例子中可以看到，这三类函数的增长是有差异的，那么，这种差异的具体情况到底怎么样呢？函数y=2x，y=x2，y=log2x在区间(0,+∞)上增长差异 实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题基础过程关键目的小结通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美． 作业：作业本P58