几类不同增长的函数模型（兔子）

几类不同增长的函数模型3.2.1第三章函数的应用课件 1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了75亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。“指数爆炸”模型生态故事：“一群兔子引发的危机” 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述的，我们学过的函数模型有哪些呢？对于实际问题，我们如何选择一个恰当的函数模型来刻画它呢？找出模型后又是如何去研究它的性质呢？ 例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？ 例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？则方案一可以用函数________________进行描述；方案二可以用函数__________________描述；方案三可以用______________________描述。设第x天的回报是y元，y=40(x∈N*)y=10x(x∈N*)y=0.4×2x-1(x∈N*)分析：1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益还是累计回报效益？2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？ x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8通过表格比较三种方案所得日回报的增长情况：1010101010101010…1000000000…00.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4 12346578910200406080100120140yx方案一:y=4012345678910…40404040404040404040…x方案二y=10x12345678910…102030405060708090100…xy=0.4*2x-112345678910…0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8y=40y=10xy=0.4×2x-1x…下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长指数爆炸 12346578910200406080100120140yy=40y=10xy=0.4×2x-1x下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？ 天数方案1234567891011一二三40801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8投资__________应选择第一种投资方案；投资___________应选择第二种投资方案；投资____________________应选择第三种投资方案。11天（含11天）以上，8~10天，1~7天，累计回报表结论除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗? 常数函数一次函数指数型函数几种常见函数的增长情况：增长量为0增长量相同直线上升指数爆炸增长量迅速增加没有增长 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，，其中哪个模型能符合公司的要求呢？例2一次函数，对数型函数，指数函数。思考①例2涉及了哪几类函数模型？②本题中符合公司要求的模型有什么条件吗 2004006008001000234567810可以看到：在区间[10,1000]上只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方▲通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？对数函数的增长情况：缓慢增长，增长量减少 2004006008001000234567810①对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x=20时，y=5，因此x∈(20,1000)时，y>5，因此该模型不符合要求。▲通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ 2004006008001000234567810▲通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5，由于它在[10,1000]上递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型也不符合要求。 2004006008001000234567810▲通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.550)在区间（0，+∞）上的单调性如何？2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？ 探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x（其中x>0.）思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,这三个函数增长的快慢情况如何？…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x x012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？ 思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2x 结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn. 结论2：一般地，对于指数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能会小于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数。(2)随着x的增大，y=ax(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n>0)的增长速度。(3)随着x的增大，y=logax(a>1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n>0)的增长速度。总存在一个x0，当x>x0时，就有:logax